Powyżej przekrój osiowy stożka. Przyjmijmy:
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość stożka (także wysokość trójkąta równoramiennego),
\(\displaystyle{ R}\) - promień kuli wpisanej (także promień okręgu wpisanego w trójkąt),
\(\displaystyle{ 2r}\) - średnica podstawy stożka (podstawa trójkąta),
\(\displaystyle{ l}\) - tworząca stożka (ramię trójkąta). Ponadto
\(\displaystyle{ V}\) to objętość stożka "całego",
\(\displaystyle{ V_1}\) to objętość stożka "małego".
Dwa trójkąty równoramienne ("cały" i "mniejszy") są podobne (cecha kąt-kąt-kąt). Wiadomo, że w figurach podobnych stosunek objętości figur przestrzennych jest równy sześcianowi skali podobieństwa. Stosunek objętości stożków wynosi 2 tzn.
\(\displaystyle{ \frac{V}{V_1}=2=k^3}\)
czyli skala podobieństwa:
\(\displaystyle{ k= \sqrt[3]{2}}\)
więc
\(\displaystyle{ \frac{H}{H-R}= \sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ H=\sqrt[3]{2}H-\sqrt[3]{2}R}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{H(\sqrt[3]{2}-1)}{\sqrt[3]{2}}}\)
Wyznaczymy także R korzystając ze wzorów na pole trójkąta (tego "tradycyjnego" oraz wykorzystującego promień okręgu wpisanego):
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}H \cdot 2r=Hr}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}(l+l+2r)R=R(l+r)}\)
\(\displaystyle{ Hr=R(l+r)}\)
\(\displaystyle{ R= \frac{Hr}{l+r}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ \frac{Hr}{l+r}=\frac{H(\sqrt[3]{2}-1)}{\sqrt[3]{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}r=\sqrt[3]{2}l+\sqrt[3]{2}r-l-r}\)
\(\displaystyle{ r=l(\sqrt[3]{2}-1)}\)
Z tw. cosinusów wiemy, że:
\(\displaystyle{ (2r)^2=l^2+l^2-2l^2cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ 4r^2=2l^2-2l^2cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha= \frac{2l^2-4r^2}{2l^2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=1- \frac{2r^2}{l^2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=1-\frac{2 \cdot l^2(\sqrt[3]{2}-1)^2}{l^2}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=1-2 \cdot (\sqrt[3]{2}-1)^2 \approx 0,8649}\)
Ufff... było trochę główkowania , dzięki za ciekawe zadanie, pozdrawiam
)