Dwie bryły

[p1etro]

Dane są dwie bryły: stożek, w którym długość promienia podstawy jest równa 4 dm i wysokość ma długość \(\displaystyle{ \frac{18}{\pi} dm}\) oraz ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 4\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) dm. Wiedząc, że objętość tych brył są równe, wyznacz kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do jego podstawy.

[Emiel Regis]

W stożku:
\(\displaystyle{ r=4}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{18}{pi}}\)
\(\displaystyle{ V_{1}}\) - objętość

W ostrosłupie:
\(\displaystyle{ a=4\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ V_{2}}\) - objętość
H - szukana wysokość


\(\displaystyle{ V_{1}=V_{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}*h*pi*r^{2}=\frac{1}{3}*H*a^{2}}\)
po przekształceniu H=6
Teraz najważniejsze, czy wiesz który to jest kąt?
Rysujesz wysokość ściany bocznej oraz odcinek łączący środki boków podstawy ostrosłupa, i kąt pomiędzy tymi dwoma odcinkami to jest właśnie nasze szukane alfa.
Czyli:
\(\displaystyle{ tg(alfa)=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Czyli wychodzi że
\(\displaystyle{ alfa=arctg\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
Wynik nie jest ładny, możliwe że się gdzieś pomyliłem, gdyby H wyszło 4 to wtedy otrzymalibyśmy alfa = 30 stopni.
Rachunki sobie sprawdź.

[DEXiu]

drizzt ==> Jest błąd. Powinno być \(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}\,\Rightarrow\,\alpha=arctg\sqrt{3}=60^{\circ}}\)

[Emiel Regis]

Słusznie, za bardzo się rozpędziłem.