Wysokość graniastosłupa

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 9 lut 2009, o 15:03

Cześć,

mam problem z tym zadaniem:

Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a}\). Poprowadzono płaszczyznę zawierającą krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz wysokość \(\displaystyle{ H}\) graniastosłupa, jeżeli wiadomo, że płaszczyzna przekroju dzieli go na \(\displaystyle{ 2}\) bryły o równych objętościach.

Zrobiłem rysunek, żeby było łatwiej mi to wytłumaczyć

Pozdrawiam i dzięki za pomoc.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 9 lut 2009, o 15:12

nwnuinr pisze: płaszczyzna przekroju dzieli go na \(\displaystyle{ 2}\) bryły o różnych objętościach.

A moze równych ?

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 9 lut 2009, o 15:13

ups, przepraszam. Miało być tak jak mówisz - "równych".

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 9 lut 2009, o 15:23

Na rysunku musisz powiększyć kąt \(\displaystyle{ \alpha}\); jeśli przekrój ,,puścisz" przez górny wierzchołek to i tak dolny ostrosłup będzie miał mniejszą objętość niż górny.

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 9 lut 2009, o 15:32

trochę nie rozumiem, w szkole nauczycielka nam tak kazała narysować, bo mówiła, że nie mamy podane w zadaniu ze przekrój obejmuje ten górny wierzchołek.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 9 lut 2009, o 15:37

nwnuinr pisze:trochę nie rozumiem, w szkole nauczycielka nam tak kazała narysować, bo mówiła, że nie mamy podane w zadaniu ze przekrój obejmuje ten górny wierzchołek.

Podane nie macie, ale przeprowadź go przez górny wierzchołek i dostaniesz objętości :

- dolna \(\displaystyle{ V_d=\frac{1}{3} \cdot \frac {a^2\sqrt 3}{4} \cdot H}\)

- górna \(\displaystyle{ V_g=\frac{1}{3} \cdot aH \cdot \frac{a\sqrt 3}{2}}\) (widać która jest większa).

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 9 lut 2009, o 15:46

no ok, w każdym razie to jest rysunek pomocniczy, więc nie jest to chyba takie ważne, a jak na razie nic mnie nie naprowadziło na obliczenie \(\displaystyle{ H}\) graniastosłupa.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 9 lut 2009, o 15:52

Jest to bardzo istotne - przeprowadzając przekrój przez górną podstawę dostajesz dwie ,,śmieszne" bryły, których objętości nie można łatwo wyznaczyć.

Mam pomysł - jednak się w nim zagrzebałem (więc prawdopodobnie są łatwiejsze sposoby)- dostałem takie ,,kobylaste" równanie (trzeciego stopnia) ze względu na H, że nawet TeXa szkoda aby go pisać.

nwnuinr · Post autor: **nwnuinr** » 9 lut 2009, o 15:58

to mnie pocieszyłeś...

nauczycielka coś mówiła o skali, że w stereometrii jest \(\displaystyle{ k^{3}}\), ale nie do końca wiem jak to wykorzystać.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 9 lut 2009, o 16:10

Podam jak ja chciałem to zrobić (ale patrz wyżej co z tego wyszło) :

- przekrój przechodzi przez górną podstawę (wiesz już dlaczego)

- ,,przedłużam" przekrój (tak nad graniastosłup) do przecięcia się go z przedłużeniem krawędzi bocznej

- połowa objętości wyjściowego jest równa objętości dużego ostrosłupa (przekrój jest jego boczną ścianą) minus objętość małego ostrosłupa (taki nad graniastosłupem).

Do tego dołożyłem funkcje danego kąta i podobieństwo.-- 9 lutego 2009, 16:42 --Nie dało mi to spokoju. Czepiłem się tej skali i mojego rysunku (z przedłużonym przekrojem).

\(\displaystyle{ V_x}\)- objętość małego ostrosłupa

\(\displaystyle{ V}\) - objętość graniastosłupa

\(\displaystyle{ x}\) - wysokość małego ostrosłupa

\(\displaystyle{ y}\) - krawędź podstawy małego ostrosłupa

Zachodzi :

\(\displaystyle{ \frac{V_x+0,5V}{V_x}=\left (\frac{H+x}{x}\right )^3}\)

\(\displaystyle{ 1+\frac{0,5V}{V_x}=\left (\frac{H+x}{x}\right )^3}\)

Wstawiłem odpowiednie wyrażenia na objętości; wprowadziłem \(\displaystyle{ \frac {a}{y}=\frac{H+x}{x}}\);

wyznaczyłem z tego \(\displaystyle{ \frac{H}{x}=\sqrt 3}\); dołożyłem funkcje trygonometryczne

\(\displaystyle{ \frac{2(H+x)}{a\sqrt 3}=tg\alpha}\) (z tego H). ufff