Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

mustangos · Post autor: **mustangos** » 7 lut 2009, o 19:02

Oblicz długość krawędzi bocznej i długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego najdłuższa przekątna wynosi 3 pierwiastki z 5 a pole pow. bocznej 54

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 7 lut 2009, o 20:17

chodzi o przekątną graniastosłupa? jeśli tak to:

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Sześciokąt foremny składa się z sześciu przystających trójkątów równobocznych których bok jest równy krawędzi podstawy graniastosłupa (na rys. \(\displaystyle{ |AD|=|AE|}\))

Pole powierzchni bocznej:
\(\displaystyle{ P_{pb}=6 \cdot |AC| \cdot |AE|=54}\)

Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |AC|^2+|AB|^2=(3 \sqrt{5})^2}\)
wiemy, że \(\displaystyle{ |AB|=2|AE|}\)
pozostaje więc rozwiązanie układu
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6 \cdot |AC| \cdot |AE|=54\\ |AC|^2+(2|AE|)^2=(3 \sqrt{5})^2\end{cases}}\)

Gdyby jednak \(\displaystyle{ 3 \sqrt{5}}\) to najdłuższa przekątna podstawy to krawędź podstawy będzie mieć długość \(\displaystyle{ |AE|= \frac{3 \sqrt{5} }{2}}\). Krawędź boczną wyliczysz z:
\(\displaystyle{ P_{pb}=6 \cdot |AC| \cdot |AE|=6 \cdot |AC| \cdot \frac{3 \sqrt{5} }{2}=54}\)

mustangos · Post autor: **mustangos** » 8 lut 2009, o 13:41

Mógłbyś dokończyć rozwiązanie bo chyba gdzieś robię błąd w obliczeniach.
Dzięki

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 8 lut 2009, o 13:44

a która wersja przekątnej obowiązuje?

mustangos · Post autor: **mustangos** » 8 lut 2009, o 13:58

Ta pierwsza:)

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 8 lut 2009, o 14:12

\(\displaystyle{ \begin{cases} 6 \cdot |AC| \cdot |AE|=54 \\ |AC|^2+(2|AE|)^2=(3 \sqrt{5})^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} |AC|= \frac{9}{|AE|} \\ |AC|^2+(2|AE|)^2=(3 \sqrt{5})^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ ( \frac{9}{|AE|})^2+(2|AE|)^2= (3 \sqrt{5})^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{81}{|AE|^2}+4|AE|^2=45}\)
\(\displaystyle{ |AE| \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 81+4|AE|^4=45|AE|^2}\)
\(\displaystyle{ 4|AE|^4-45|AE|^2+81=0}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ t=|AE|^2}\)
\(\displaystyle{ 4t^2-45t+81=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta_t=2025-1296=729}\)
\(\displaystyle{ t_1= \frac{45+27}{8} =9}\)
\(\displaystyle{ t_2= \frac{45-27}{8}= \frac{9}{4}}\)

\(\displaystyle{ |AE|^2=9}\)
\(\displaystyle{ |AE|=3}\)
lub
\(\displaystyle{ |AE|^2= \frac{9}{4}}\)
\(\displaystyle{ |AE|= \frac{3}{2}}\)
(\(\displaystyle{ -3}\) i \(\displaystyle{ - \frac{3}{2}}\) nie bierzemy pod uwagę bo długość nie może być ujemna)

dalej chyba sobie poradzisz