puszka w kształcie walca...

[jadzia1177]

"Puszka z napojem o pojemności 0,5 l ma kształt walca. Jaki powinien być stosunek wymiarów puszki, aby na jej wytworzenie zużyć jak najmniej blachy?"

[sir_matin]

\(\displaystyle{ V=\pi r^{2}h=0,5dm^{3}\\
P_{p}=2 \pi r^{2}+h2\pi r}\)

Szukamy minimalnego pola powierzchni przy zadanej objętości:

\(\displaystyle{ P_{p_{min}}=2 \pi r^{2}+2 \pi \frac{0,5}{\pi r^{2}}= 2 \pi r^{2}+ \frac{1}{ r^{2}}\\
P_{p}'=4 \pi r - \frac{2}{ r^{3}}=0 \Rightarrow r= \sqrt[4]{ \frac{1}{2 \pi} } \\
P_{p}^{''}=4 \pi + \frac{6}{ r^{4}} \ \ \ \ \ dla \ \ \ \ \ r= \sqrt[4]{ \frac{1}{2 \pi} } \Rightarrow P_{p}^{''}>0\\
r= \sqrt[4]{ \frac{1}{2 \pi} } \ \ \ to \ minimum}\)

[jadzia1177]

a tam nie ma przypadkiem błędu w pierwszej linijce przy obliczaniu \(\displaystyle{ P _{p _{min} }}\) ??? bo brakuje mi r w tym wzorze...

[sir_matin]

Faktycznie...

\(\displaystyle{ P_{p_{min}}=2 \pi r^{2}+2 \pi r \frac{0,5}{\pi r^{2}}= 2 \pi r^{2}+ \frac{1}{ r}\\
P_{p}'=4 \pi r - \frac{1}{ r^{2}}=0 \Rightarrow r= \sqrt[3]{ \frac{1}{ 4\pi} } \\
P_{p}^{''}=4 \pi + \frac{2}{ r^{3}} \ \ \ \ \ dla \ \ \ \ \ r= \sqrt[3]{ \frac{1}{4 \pi} } \Rightarrow P_{p}^{''}>0\\
r= \sqrt[3]{ \frac{1}{4 \pi} } \ \ \ to \ minimum}\)