jak to zrobić

[grazynak1969]

Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta prostokątnego ABC dookoła najdłuższego boku wiedząc że wierzchołek B leży w początku układu współrzędnych, a wierzchołek A ma współrzędne (3,1), wierzchołek C (2,2).

Temat musi krótko i charakterystycznie opisywac treść zadania. Justka.

[Poodzian]

Znasz współrzędne każdego z punktów, które są niezbędne do obliczenia długości każdego z boków trójkąta, tak więc:
\(\displaystyle{ A=(3; 1)}\), \(\displaystyle{ B=(0; 0)}\) oraz \(\displaystyle{ C=(2; 2)}\)

\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(0-3)^2+(0-1)^2}=\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ |BC|=\sqrt{(0-2)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ |AC|=\sqrt{(2-3)^2+(2-1)^2}=\sqrt{2}}\)

Widać, że najdłuższym odcinkiem jest tutaj odcinek \(\displaystyle{ |AB|}\) i to on jest zawiera w sobie oś obrotu - w jego wyniku powstają dwa stożki sklejone ze sobą podstawami o równej powierzchni, których promień będzie równy długości wysokości naszego trójkąta wychodzącej z wierzchołka naprzeciwko \(\displaystyle{ |AB|}\)

Ze wzoru na tę wysokość: \(\displaystyle{ h=\frac{|BC|\cdot |AC|}{|AB|}=\frac{2\sqrt{10}}{5}}\)
Wysokość ta podzieliła początkowy trójkąt na dwa inne trójkąty prostokątne, których boki to odpowiednio \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\), \(\displaystyle{ h}\) i przeciwprostokątna \(\displaystyle{ \sqrt{10}-x}\), oraz \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ h}\) i przeciwprostokątna \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

Nie znamy \(\displaystyle{ x}\) - wysokości mniejszego stożka
Tę wartość z Pitagorasa: \(\displaystyle{ x^2+(\frac{2\sqrt{10}}{5})^2=2}\)

Wobec czego: \(\displaystyle{ x^2=\frac{4}{10}}\) i \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{10}}{5}}\)
Wszystkie dane są, zatem wyprowadzamy wzór w oparciu o wcześniejsze wywody: \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}(|AB|-x)\cdot \pi h^2+\frac{1}{3}x\cdot \pi h^2}\)

[grazynak1969]

Dzięki...-- 6 lut 2009, o 18:40 --A jaki powinien być dokładny wynik tego zadania, ponieważ wychodzą mi dwa rozwiązania... Proszę o szybką wiadomość...