Objętość ostrosłupa

[zenon_mk20]

Cześć. mam takie zadanie:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny o objętości \(\displaystyle{ V}\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi bocznych. Wykaż, że otrzymany ostrosłup ścięty \(\displaystyle{ ABCD A'B'C'D'}\) ma objętość \(\displaystyle{ \frac{7}{8}V}\).

Pomoże ktoś?

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Jak widzisz mamy trójkąty podobne ABC i DEC (to przykładowa ściana boczna), ponieważ \(\displaystyle{ \frac{|AC|}{|DC|}=2}\) to wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|DE|}=2}\) czyli \(\displaystyle{ |DE|= \frac{a}{2}}\)

Wysokość ostrosłupa też jest podzielona na pół, zatem objętość tego małego ostrosłupa na górze to:
\(\displaystyle{ V_1= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} H \cdot ( \frac{a}{2})^2= \frac{a^2H}{24}}\) a to stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{8} V}\) (\(\displaystyle{ V= \frac{a^2H}{3}}\)) czyli reszta to \(\displaystyle{ \frac{7}{8} V}\)

[Kamilekzmc]

AU

4a093f7847cbb755m.jpg (6.32 KiB) Przejrzano 843 razy

[/url]

mały i duży ostrosłup jest w skali podobieństwa do sześcianu. dlaczego?::
\(\displaystyle{ \frac{AB}{FH}=2}\) to skala podobieństwa.
czyli jeden bok to k
dwa boki to \(\displaystyle{ k^{2}}\)
a że chodzi o objętość czyli \(\displaystyle{ k^{3}}\). nie chce mi się głębiej tego pogrążąć...

czyli jeżeli duży ma \(\displaystyle{ V}\) to mały ma \(\displaystyle{ \frac{V}{k^{3}}}\)

ale chodzi o to ścięte więc \(\displaystyle{ V- \frac{V}{8}= \frac{7}{8} V}\)

[zenon_mk20]

Dzięki