Ostrosłup czworokątny

[USM]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe S, a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Ostrosłup przecięto płaszczyzną zawierającą krawędź boczną tego ostroslupa i przechodzącą przez środek rozłącznej z nią krawęzdi podstawy. Oblicz Ppc otrzymanego przekroju.

Proszę o pomoc

[florek177]

\(\displaystyle{ a = \sqrt{S}}\)
Szukany przekrój ma składa się z: wysokości ściany bocznej - hs; krawędzi bocznej - k i podstawy \(\displaystyle{ \,\,\, c = \frac{\sqrt{5}}{2} \, \sqrt{S}}\);

\(\displaystyle{ h_{s} = \frac{\sqrt{S}}{2 \, cos(\alpha)}\,\,\,\,}\) ; a z pitagorasa: \(\displaystyle{ \,\,\, k = \sqrt{h_{s}^{2} + (\frac{a}{2})^{2}} = \frac{}{}}\),
Do wyznaczenia pola przekroju potrzebujemy wysokości trójkąta, \(\displaystyle{ h = h_{s} \, sin(\beta)}\),
\(\displaystyle{ sin(\beta) = \sqrt{1 - cos^{2}(\beta)}}\)

z tw. cosinusów: \(\displaystyle{ \,\, cos(\beta) = \frac{2 \, \sqrt{5}}{5} \, cos(\alpha) \,\,\,}\) --> \(\displaystyle{ sin(\beta) = \frac{\sqrt{5}}{5} \, \sqrt{1 + 4 \, sin^{2}{\alpha}} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\,\,\, h = \frac{\sqrt{5} \, \sqrt{S}}{10 \, cos(\alpha)} \, \sqrt{3 - 2 cos(2 \, \alpha)}} \,\,\,\,\,}\) ;

\(\displaystyle{ P = \frac{S}{8 \, cos(\alpha)}} \, \sqrt{3 - 2 cos(2 \, \alpha)}}\)

Dla sprawdzenia innych wyników : dla \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3} ; S = 2 --> P = 1}\)

[USM]

Dziękuje bardzo. V.2 rozwiązania to policzenie wszystkich boków i zastosowanie wzoru Herona