Na ostrosłupie prawidłowym trójkątnym opisano stożek, a na tym stożku opisano kulę. Kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stożka jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\). Obliczyć stosunek objętości kuli do objętości ostrosłupa.
Prosiłbym o pomoc z tym zadankiem. Miłoby było, gdyby była w miarę dokładna
Ostrosłup, stożek i kula - stosunek objętości.
-
DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
Ostrosłup, stożek i kula - stosunek objętości.
O ile się gdzieś nie pomyliłem to będzie mniej więcej tak: Oznaczmy sobie tworzącą stożka (lub jak kto woli - krawędź boczną ostrosłupa) jako \(\displaystyle{ l}\), promień kuli jako \(\displaystyle{ R}\), krawędź podstawy ostrosłupa jako \(\displaystyle{ a}\), a wysokość ostrosłupa (a więc i stożka) jako \(\displaystyle{ H}\). Przedłużamy wysokość stożka do przecięcia z kulą. Wiemy (co zresztą łatwo stwierdzić), że ten odcinek powstały przez przedłużenie wysokości jest jednocześnie średnicą kuli czyli jego długość wynosi \(\displaystyle{ 2R}\). Korzystamy z danego kąta i stosujemy odpowiednie funkcje trygonometryczne, wyliczając, że:
\(\displaystyle{ V_{k}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\\R=\frac{l}{2cos{\frac{\alpha}{2}}}\\V_{k}=\frac{4}{3}\pi \frac{l^{3}}{8cos^{3}\frac{\alpha}{2}}\\V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}H=\frac{1}{3}\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}H\\H=lcos\frac{\alpha}{2}\\\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}}{3}*\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{a\sqrt{3}}{3}^{2}*\frac{3\sqrt{3}}{4}=(\frac{2}{3}*\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}*\frac{3\sqrt{3}}{4}=(l*sin\frac{\alpha}{2})^{2}*\frac{3\sqrt{3}}{4}\\V_{o}=\frac{\sqrt{3}}{4}l^{3}sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}\\\frac{V_{k}}{V_{o}}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}}}\)
Ale nie daję żadnej gwarancji, że się gdzieś nie pomyliłem w obliczeniach/przekształceniach (co więcej - jestem tego prawie pewien że się pomyliłem ), ale sam sposób chyba dobry, a ten wynik który mi wyszedł jeszcze zapewne można trochę uprościć (coś zakombinować z funkcjami tryg.)
\(\displaystyle{ V_{k}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\\R=\frac{l}{2cos{\frac{\alpha}{2}}}\\V_{k}=\frac{4}{3}\pi \frac{l^{3}}{8cos^{3}\frac{\alpha}{2}}\\V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}H=\frac{1}{3}\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}H\\H=lcos\frac{\alpha}{2}\\\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}}{3}*\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{a\sqrt{3}}{3}^{2}*\frac{3\sqrt{3}}{4}=(\frac{2}{3}*\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2}*\frac{3\sqrt{3}}{4}=(l*sin\frac{\alpha}{2})^{2}*\frac{3\sqrt{3}}{4}\\V_{o}=\frac{\sqrt{3}}{4}l^{3}sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}\\\frac{V_{k}}{V_{o}}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}sin^{2}\frac{\alpha}{2}cos^{2}\frac{\alpha}{2}}}\)
Ale nie daję żadnej gwarancji, że się gdzieś nie pomyliłem w obliczeniach/przekształceniach (co więcej - jestem tego prawie pewien że się pomyliłem ), ale sam sposób chyba dobry, a ten wynik który mi wyszedł jeszcze zapewne można trochę uprościć (coś zakombinować z funkcjami tryg.)
-
Finarfin
- Użytkownik
- Posty: 256
- Rejestracja: 13 paź 2004, o 16:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocek
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 9 razy
Ostrosłup, stożek i kula - stosunek objętości.
Robię to zadanie tak jak na tych linkach ->
Jednakże tam gdzie się urywa, tam zaczynam nie wiem jakim sposobem zawsze robić błąd rachunkowy. Poza tym pytanie, czy myślicie, że za zostawienie wyniku w postaci coś tam \(\displaystyle{ tg\frac{\alpha}{2}}\) można się przyczepić do rozwiązania zamiast pozostawić rozwiązanie w postaci np \(\displaystyle{ cos\alpha}\)? Jeżeli ktoś by ładnie doprowadził do postaci końcowej to byłbym wdzięczny
Ponieważ muszę wysłać to zadanie do jutra na kurs(żaden KONkurs ), a zależy mi tym razem na dość wysokiej punktacji w związku z tym prosiłbym w razie czego o poprawienie jakiś błędów(nawet ortograficznych ), gdyż prof. sprawdzający sprawdzają naprawdę surowo, niekiedy odejmując punkty za naprawdę spory badziew(jak np. napisanie twierdzenie Pitagorasa z małej litery ).
Z góry dziękuję za wszelaką pomoc
Jednakże tam gdzie się urywa, tam zaczynam nie wiem jakim sposobem zawsze robić błąd rachunkowy. Poza tym pytanie, czy myślicie, że za zostawienie wyniku w postaci coś tam \(\displaystyle{ tg\frac{\alpha}{2}}\) można się przyczepić do rozwiązania zamiast pozostawić rozwiązanie w postaci np \(\displaystyle{ cos\alpha}\)? Jeżeli ktoś by ładnie doprowadził do postaci końcowej to byłbym wdzięczny
Ponieważ muszę wysłać to zadanie do jutra na kurs(żaden KONkurs ), a zależy mi tym razem na dość wysokiej punktacji w związku z tym prosiłbym w razie czego o poprawienie jakiś błędów(nawet ortograficznych ), gdyż prof. sprawdzający sprawdzają naprawdę surowo, niekiedy odejmując punkty za naprawdę spory badziew(jak np. napisanie twierdzenie Pitagorasa z małej litery ).
Z góry dziękuję za wszelaką pomoc