Graniastosłup, ostrosłup, obrót trapezu

[owen1011]

1. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 60 stopni. Krawędź podstawy ma długość 12. Oblicz objętość i pole całkowite.

2. Dany jest ostrosłup trójkątny, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4. Krawędź wychodząca z wierzchołka kąta prostego podstawy jest do niej prostopadła i ma długość 5. Oblicz V i Pc ostrosłupa.

3. Dookoła osi symetrii obraca się trapez równoramienny, którego ramię długości 10 jest nachylone do dłuższej podstawy pod kątem 60 stopni. Oblicz objętość otrzymanej bryły wiedząc, że przekątna trapezu tworzy z ramieniem kąt prosty.

4.Krawędź podstawy prawidłowego ostrosłupa trójkątnego ma długość 5, a jego ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Oblicz V i pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

5. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego, którego podstawą jest romb o przekątnych długości 6cm i 8cm, a przekątna ściany bocznej ma długość 11 cm.

6. Dany jest trapez prostokątny, w którym krótsza podstawa ma długość \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) (tu miało byc 2 pierwiastki z 3, ale coś ten Latex mi nie działą) i dłuższa przekątna o długości 14 jest nachylona do dłuższej podstawy pod kątem 30 stopni. Trapez ten obraca się dookoła krótszej podstawy. Oblicz pole powierzchni otrzymanej bryły.

Bardzo zależy mi na tych zadankach, wiem że jest ich dużo, ale będę bardzo wdzięczny za pomoc... Chociaż poproszę o jakieś duże wskazówki, jeżeli by się dało to jeszcze dziś by się rozwiązanie przydało...

pozdrawiam

Wyrażenie matematyczne umieszczaj pomiędzy klamrami

Kod: Zaznacz cały

[tex]...[/tex]

, a Latex na pewno zadziała. Justka. [/color]

[Justka]

1.
Przekątna podstawy (d) ma długość \(\displaystyle{ d=a\sqrt{2}=12\sqrt{2}}\), zatem wysokość graniastosłupa to \(\displaystyle{ h=tg60^0\cdot d \ \Rightarrow \ h=12\sqrt{6}}\)
czyli
\(\displaystyle{ V=a^2h\\
P_c=2a^2+4ah}\)

[Harry Xin]

Ad. 2.:

Najważniejsze to narysuj sobie ten ostrosłup. Skorzystaj dla każdego z 3 trójkątów prostokątnych (podstawa i dwie ściany boczne) z twierdzenia Pitagorasa. Będziesz miał wszystkie długości boków. Później już z górki.

[owen1011]

Dzięki Justka, ale czy to na pewno jest dobrze, tez tak myslalem, ale mam wątpliwość: kąt 60 stopni jest między przekątna całego graniastosłupa do krawędzi podstawy... czy kąt między przekątną graniastosłupa, a przekątną podstawy będzie taki sam?? Bo tak jest założone w tym rozw...

[Harry Xin]

Co do pierwszego:

Możemy skorzystać z tangensa i twierdzenia Pitagorasa.

a - przekątna ściany bocznej
h - wysokość graniastosłupa

\(\displaystyle{ \tg 60^{o}=\frac{a}{12}\Rightarrow a=12\sqrt{3}
\\ h=\sqrt{144\cdot 3-144}=12\sqrt{2}}\)

[Justka]

Racja, niedokładnie przeczytałam treść.
Chodzi o kąt pomiędzy krawędzią podstawy, a przekątna graniastosłupa ( a ja uwzględniłam przekątną podstawy...)

[owen1011]

Co do pierwszego:

Możemy skorzystać z tangensa i twierdzenia Pitagorasa.

a - przekątna ściany bocznej
h - wysokość graniastosłupa

\(\displaystyle{ \tg 60^{o}=\frac{a}{12}\Rightarrow a=12\sqrt{3}
\\ h=\sqrt{144\cdot 3-144}=12\sqrt{2}}\)

wydaje się okej, ale znowu mam jedną wątpliwość, czy napewno kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy jest kątem prostym? Bo inaczej to rozwiązanie jest błędne...

Zrobiłem sobie model tego graniastosłupa z długopisów i wychodzi, że chyba wszystko okej... dzięki

[Justka]

Na pewno jest prosty

5.
Znając przekatne możemy obliczyć krawędź podstawy: \(\displaystyle{ a=\sqrt{(\frac{6}{2})^2+(\frac{8}{2})^2}=5}\)
Zatem wysokość to \(\displaystyle{ h=\sqrt{11^2-5^2}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}}\)
I dalej wiadomo.

[Harry Xin]

Oznaczmy sobie długość krawędzi podstawy jako b, wysokość jako h i przekątną ściany bocznej jako a.
Wtedy zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

\(\displaystyle{ b^{2}+h^{2}=a^{2}
\\ h=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{(12\sqrt{3})^{2}-12^{2}}=\sqrt{144\cdot 3-144}=12\sqrt{2}}\)

Może za bardzo skrótowo Ci to napisałem. Jasne już czy narysować?

[owen1011]

Dzięki Harry Xin już wszystko rozumię...

-- 1 lut 2009, o 14:10 --

Ad. 2.:

Najważniejsze to narysuj sobie ten ostrosłup. Skorzystaj dla każdego z 3 trójkątów prostokątnych (podstawa i dwie ściany boczne) z twierdzenia Pitagorasa. Będziesz miał wszystkie długości boków. Później już z górki.

Skorzystałem z Twojej rady, obliczyłem już wszystko, tylko aby moje rozwiązanie było okej, to wysokościa tego ostrosłupa musi być Krawędź wychodząca z wierzchołka kąta prostego... ona nią jest, prawda??

-- 1 lut 2009, o 14:24 --

Udało mi się chyba rozwiązać 4, oto moje rozw:

w tym zadaniu wysokosc ostrosłupa wyszła mi: 15/6, czy to dobry wynik??

Jezeli to rozwiązanie jest dobre, to pozostały mi nie rozwiązane zadania 3 i 6...

w 3 teraz wyszło mi coś takiego: V= 1/3 * \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) pi(1000-125), czy to jest okej??

[Harry Xin]

Skorzystałem z Twojej rady, obliczyłem już wszystko, tylko aby moje rozwiązanie było okej, to wysokościa tego ostrosłupa musi być Krawędź wychodząca z wierzchołka kąta prostego... ona nią jest, prawda??

2. Dany jest ostrosłup trójkątny, którego podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4. Krawędź wychodząca z wierzchołka kąta prostego podstawy jest do niej prostopadła i ma długość 5. Oblicz V i Pc ostrosłupa.

Skoro jest do niej prostopadła to jest wysokością.

[Justka]

3.
Po obrocie otrzymamy stożek ścięty.
Wiemy, że ramię ma długość 10, dłuższa podstawa 20 (promień R=10), krótsza 10 (promień r=5), a wysokość jest równa \(\displaystyle{ h=5\sqrt{3}}\).
Objętość \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi h(R^2+Rr+r^2)}\)

[owen1011]

Aby podsumować nasze wspólne dzisiejsze obliczenia:

1) V= 144*12\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
Pc= 288+576\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

2)V=10
Pc= 29,5

3) V=1/3\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)pi(1000-125) - mi wyszlo w ten sposob, ale jest to, to samo co Tobie Justka

4) V= 125\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) /24
Pb= 150\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)/6

5) Pc= 48+80\(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)

6) wyliczyłem wszystkie boki, ale nie wiem czym bedzie pole powierzchni tej bryly...


Będe wdzęczny za przejrzanie poprawności wyników...

[Justka]

W 6.
Polem będzie podstawa walca o promieniu r, (gdzie r to wysokość trapezu) + pole powierzchni bocznej (walec o promieniu r oraz wysokości h -dłuższa podstawa trapezu) + pole boczne stozka o promieniu r i tworzącej \(\displaystyle{ l}\), która jest równa długości ramienia trapezu)



p.s Popraw zapis powyższego posta.

[owen1011]

Muszę sobie jeszcze raz to u siebie rozwiązać, bo przez pomyłkę obróciłem względem krótszego boku... )