fragment powierzchni kuli.

[medivo]

Do obliczeń w pewnym programie, potrzebna mi jest powierzchnia wycinka kuli taka, że: mam punkt poza przestrzenią kuli od tego punktu prowadzę płaszczyznę styczną do kuli, potrzebny mi wzór do wyliczenia zależności między odległością od kuli a polem powierzchni tego wycinka, próbowałem coś robić na kole, to znaczy rysowałem trójkąt, środek koła punkt i styczna, wydaje mi się, że będzie jakiś związek z sinusami czy tangensami itp. tego trójkąta ale nie mogę tego ogarnąć jakoś. Jak narysuję sobie koło wpisane w kwadrat to widzę, że punkt w rogu kwadratu obejmie 1/4 powierzchni koła, na razie tyle wykombinowałem.

[florek177]

Z treści zadania wnioskuję, że chodzi o powierzchnię kuli, która znajdzie się pod stożkiem.
Mamy dane: d = odległość punktu od kuli; R - promień kuli. Szukamy: h - wysokość stożka; x - wysokość czaszy kuli, r - promień podstawy stożka ( promień czaszy ).

\(\displaystyle{ h = d + x}\) ;
\(\displaystyle{ r^{2} + ( R - x )^{2} = R^{2}}\) ;
\(\displaystyle{ r^2 = h \, ( R - x )}\) .

Do wzoru na powierzchnię potrzebne są: x i r.

Z rozwiązania układu mamy:

\(\displaystyle{ x = \frac{R \, d}{R + d} \,\,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ r = \frac{R}{R + d} \, \sqrt{d^{2} + 2 \, R \, d}}\);

Pole wycinka kuli: \(\displaystyle{ \,\,\, S = \pi \, ( 2 \, R \, x + r^{2}) \,\,\,\,}\) --> po podstawieniu i uproszczeniu mamy: \(\displaystyle{ S = \frac{\pi \, R^{2} \, d}{(R + d)^{2}} \, ( 4 \, R + 3 \, d )}\)

Podlega sprawdzeniu.

[medivo]

nie wiem czy to jest dobrze coś mi za dużo wychodzi, powierzchnię fragmentu sfery określa wzór S = 2*pi*r*h, zaznaczam że chodzi mi o samą powierzchnię bez spodu coś jak powierzchnia soczewki. Z tego powyższego wzoru zostaje mi tylko obliczyć h mógłbym to wyliczyć np. mając promień koła na którym stożek styka się z kulą ale nie wiem jak to przeliczyć.

[florek177]

Jeżeli nie liczymy spodu, to pole sfery kuli : \(\displaystyle{ \, \, \, S = 2 \, \pi \,R \, x \, \, \, \,}\).

Niestety, żeby wyznaczyć x, musisz rozwiązać układ jak wyżej.
h --> wstaw do trzeciego, po czym z trzeciego \(\displaystyle{ r^{2} \,\,\,}\) --> do drugiego i ładnie wychodzi.

x - policzone dobrze. Dla d = R --> x = R/2 i to się zgadza.

[medivo]

dzięki, trochę tego nie zakumałem i zrobiłem inaczej.

c - odległość od kuli;
a - promień kuli;

b=sqrt(c*c-a*a); wyznaczam odległość między punktem stycznym a punktem poza kulą (promień i styczna stykają się pod kątem prostym)
x=b*(a/c); mam kąt między srodkiem kuli a punktem stycznej i kuli, tworzę drugi trójkąt prostokątny mający ten sam kąt o przeciwprostokątnej b gdzie x to jego przyprostokątna.
y=sqrt(b*b-x*x); a y to przeciwprostokątna.
h=a-(c-y); obliczam wysokość wycinka kuli.
p=2*3.1415*a*h; i liczę jego powierzchnię.

chyba jest dobrze bo wychodzą mniej więcej spodziewane wyniki.