1.Ściany boczne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego są kwadratami o polu powierzchni
równym 3.Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.Oblicz długości jego przekątnych.
2.Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu którego przekątna jest o 2 dłuższa od jego krawędzi.
3.Krawędz podstawy graniastosłupa prawidłowego ma długość 2,a jego pole powierzchni całkowitej jest równe 24.Oblicz wysokość tego graniastosłupa jeżeli jego podstawą jest:
a).trójkąt
b).kwadrat
c).sześciokąt
4.Oblicz stosunek objętości kuli wpisanej w walce do objętości kuli opisanej na tym walcu.
walec i kula
-
Lukasz9800
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 21:21
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 1 raz
walec i kula
1. Wiemy że ścianą boczną jest kwadrat o polu 3 więc obliczamy jego bok:
\(\displaystyle{ a^{2} = 3
a= \sqrt{3}}\)
no to dzięki temu mamy również bok sześciokąta w podstawie. jako że sześciokąt możemy podzielić na 6 trójkątów równobocznych więc:
\(\displaystyle{ P = \frac{3 \cdot \sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ Pp = 6 \cdot \frac {3 \sqrt{3}}{4} = \frac {9 \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ V = Pp \cdot H = \frec {27}{2}
Pc = 6 Pś + 2 Pp = 6 \cdot 3+2 \cdot \frec{27}{2} = 72}\)
teraz przekątna:
z Pitagorasa: przekątna podstawy(czyli 2 boki małego trojkata w podstawie) i wysokosc
\(\displaystyle{ d=4 \cdot 3+3=15}\)
\(\displaystyle{ a^{2} = 3
a= \sqrt{3}}\)
no to dzięki temu mamy również bok sześciokąta w podstawie. jako że sześciokąt możemy podzielić na 6 trójkątów równobocznych więc:
\(\displaystyle{ P = \frac{3 \cdot \sqrt{3} }{4}}\)
\(\displaystyle{ Pp = 6 \cdot \frac {3 \sqrt{3}}{4} = \frac {9 \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ V = Pp \cdot H = \frec {27}{2}
Pc = 6 Pś + 2 Pp = 6 \cdot 3+2 \cdot \frec{27}{2} = 72}\)
teraz przekątna:
z Pitagorasa: przekątna podstawy(czyli 2 boki małego trojkata w podstawie) i wysokosc
\(\displaystyle{ d=4 \cdot 3+3=15}\)
walec i kula
2.
Liczysz bok z zależności \(\displaystyle{ a+2=a \sqrt{3}}\)
Mając bok nie będzie już problemu z wyliczeniem Pc i V
3.
a) w podstawie masz trójkąt równoboczny, wyliczasz jego pole ze wzoru na pole w trojkącie równobocznym \(\displaystyle{ Pp= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\) Podstawiasz do tego wzoru 2
Pole całkowite graniastosłupa to 2Pp+Pb u nas jest rowne 24.
\(\displaystyle{ Pb=3*2*b=24-2Pp}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{24-2Pp}{6}}\)
b to nasza wysokość
przyklad b i c analogicznie
Liczysz bok z zależności \(\displaystyle{ a+2=a \sqrt{3}}\)
Mając bok nie będzie już problemu z wyliczeniem Pc i V
3.
a) w podstawie masz trójkąt równoboczny, wyliczasz jego pole ze wzoru na pole w trojkącie równobocznym \(\displaystyle{ Pp= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\) Podstawiasz do tego wzoru 2
Pole całkowite graniastosłupa to 2Pp+Pb u nas jest rowne 24.
\(\displaystyle{ Pb=3*2*b=24-2Pp}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{24-2Pp}{6}}\)
b to nasza wysokość
przyklad b i c analogicznie
Ostatnio zmieniony 27 sty 2009, o 22:40 przez sagan47, łącznie zmieniany 3 razy.
-
Sherlock
- Użytkownik
- Posty: 2783
- Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Pomógł: 739 razy
walec i kula
Zad. 4
Jeśli kula ma być wpisana w walec, to przekrój walca musi być kwadratem (czyli średnica podstawy walca jest równa jego wysokości).
\(\displaystyle{ r_{opisanej}=\frac {a \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ r_{wpisanej}=\frac {a }{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{opisanej}=\frac{4}{3}\pi\cdot ( \frac{a \sqrt{2} }{2} )^3=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3 \cdot 2 \sqrt{2} }{8}=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3 \cdot \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ V_{wpisanej}=\frac{4}{3}\pi\cdot ( \frac{a }{2} )^3=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3}{8}}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_{wpisanej}}{V_{opisanej}} = \frac{\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3}{8}}{\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3 \cdot \sqrt{2} }{4} }= \frac{a^3}{8} \cdot \frac{4}{a^3 \cdot \sqrt{2}}= \frac{ \sqrt{2} }{4}}\)
Kod: Zaznacz cały
http://odsiebie.comJeśli kula ma być wpisana w walec, to przekrój walca musi być kwadratem (czyli średnica podstawy walca jest równa jego wysokości).
\(\displaystyle{ r_{opisanej}=\frac {a \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ r_{wpisanej}=\frac {a }{2}}\)
\(\displaystyle{ V_{opisanej}=\frac{4}{3}\pi\cdot ( \frac{a \sqrt{2} }{2} )^3=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3 \cdot 2 \sqrt{2} }{8}=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3 \cdot \sqrt{2} }{4}}\)
\(\displaystyle{ V_{wpisanej}=\frac{4}{3}\pi\cdot ( \frac{a }{2} )^3=\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3}{8}}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_{wpisanej}}{V_{opisanej}} = \frac{\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3}{8}}{\frac{4}{3}\pi\cdot \frac{a^3 \cdot \sqrt{2} }{4} }= \frac{a^3}{8} \cdot \frac{4}{a^3 \cdot \sqrt{2}}= \frac{ \sqrt{2} }{4}}\)