Ostrosłup, objętość

[justysia5566]

Mam zadanie i męczę się z nim już dobre pare godzin... Oto i ono:

Odległość środka podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego od ściany bocznej jest równa \(\displaystyle{ d}\), a kąt ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz objętość ostrosłupa.

Odp. \(\displaystyle{ \frac{4}{3}d ^{3} \frac{ctg \frac{ \alpha }{2} }{1-tg ^{2} \frac{ \alpha }{2} }}\)

Aha... a ten kąt to jest przy wierzchołku pomiędzy dwoma sąsiednimi krawędziami ścian bocznych?

[Justka]

a- krawędzi podstawy
h- wysokość sciany bocznej

Korzystając z podanego kąta, który znajduje się przy wierzchołku pomiędzy krawędziami bocznymi mamy;
\(\displaystyle{ h=ctg\frac{\alpha}{2}\cdot \frac{a}{2}}\), znając wysokość sciany bocznej możemy obliczyc wysokość ostrosłupa (tw. Pitagorasa):
\(\displaystyle{ H=\sqrt{h^2-(\frac{a}{2})^2} \ \Rightarrow \ H=\frac{a\sqrt{ctg^2\frac{\alpha}{2} -1} }{2}}\)

Zauważ, że odcinek \(\displaystyle{ d}\) to wysokość tójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej w naszym wypadku jest to \(\displaystyle{ h}\), a więc:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}dh=\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot H \ \Rightarrow \ dh=\frac{aH}{2}}\) i w ten sposób uzależniamy a od d czyli

\(\displaystyle{ d\cdot \frac{ctg\frac{\alpha}{2} \cdot a}{2} =\frac{1}{2}(a\cdot \frac{a\sqrt{ctg^2\frac{\alpha}{2}-1}}{2}) \ \Rightarrow \ a=\frac{2d ctg\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{ctg^2\frac{\alpha}{2}-1}}}\)

Objętośc to oczywiście \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2\cdot H}\). Po krótkich przekształceniach dojdziesz do postaci

\(\displaystyle{ V=\frac{4}{3}d^3 \frac{ctg^3 \frac{\alpha}{2}}{ctg^2\frac{\alpha}{2}-1}=\frac{4}{3}d^3 \frac{ctg^3\frac{\alpha}{2}}{ctg^2\frac{\alpha}{2}(1-tg^2\frac{\alpha}{2})} \ \Rightarrow \ V=\frac{4}{3}d^3 \frac{ctg\frac{\alpha}{2}}{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}}\)