Ostrosłup wpisany w ostrosłup, stosunek objętości

Crizz · Post autor: **Crizz** » 26 sty 2009, o 13:17

W ostrosłup prawidłowy trójkątny, o kącie płaskim \(\displaystyle{ \alpha}\) przy wierzchołku, wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny tak, że jego wierzchołek leży w środku okręgu opisanego na podstawie danego ostrosłupa, a krawędzie boczne są prostopadłe do krawędzi bocznych danego ostrosłupa. Dla jakiego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) stosunek objętości tych ostrosłupów wyniesie \(\displaystyle{ \frac{4}{27}}\)?

Mortify · Post autor: **Mortify** » 26 sty 2009, o 19:27

zacząłem liczyć to zadanko, jednak przeraziły mnie obliczenia, więc nie skończyłem go, ale przedstawię pomysł na jaki wpadłem.
oznaczmy sobie krawędź podstawy dużego ostrosłupa jako a. Z tw. sinusów możemy wyznaczyć dł. krawędzi bocznej. potem wyznaczamy H dużego z pitagorasa (2/3 wysokości podst, krawedz boczna i wysokosc ostroslupa-H). Dzieki temu wyznaczymy V w zależnosci od a.
Wykorzystując 2 razy pitagorasa dla trójkąta o wierzchołkach w punktach: spodek wysokości, wierzchołek ostrosłupa i wierchołek podstawy obliczymy dl krawedzi bocznej malego ostroslupa. bedziemy mogli to wykorzystac do policzenia krawedzi podstawy (np z podobienstwa trojkatow na scianie bocznej duzego ostroslupa) a dalej obliczymy V rowniez w zaleznosci od a, dzieki temu stosunek bedzie tylko zalezny od kąta alfa

Crizz · Post autor: **Crizz** » 26 sty 2009, o 20:36

Hmm...
Myślałem o prostszym sposobie, bo właśnie mnie też przerażają obliczenia