Objętość ostrosłupa i tajemnicza wysokość :(

domel666 · Post autor: **domel666** » 12 gru 2005, o 18:47

Witam.

Mamy sporo problemów z pewnym, na pozór łatwym zadaniem o ostrosłupie. Pisze "mamy" bo nie tylko ja, a także moi koledzy męczymy się nad nim i nadal nic A oto treść zadania:

Dwie skośne względem siebie krawędzie ostrosłupa trójkątnego mają długość b. Pozostałe krawędzie tego ostrosłupa mają długość a. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Jest to zadanie z podręcznika do III klasy liceum i w odpowiedziach jest: \(\displaystyle{ \frac{1}{6} b^{2}\sqrt{a^{2} - \frac{b^{2}}{2}}}\)
Aby obliczyć objętość ostrosłupa potrzebna nam jest jego wysokość i pole podstawy. No i z tym drugim nie ma najmniejszego problemu, wynosi ono: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}b\sqrt{a^{2} - \frac{b^{2}}{2}}}\)
Problem pojawia się gdy zabierzemy się za wysokość, ponieważ zgodnie z tymi odpowiedziami to wysokość ostrosłupa H=b. Ale w zadaniu nic takiego nie ma powiedzanego, że któraś z krawędzi pada prostopadle do podstawy, a chyba nie za bardzo możemy sobie założyć, że tak jest.
No i co w takiej sytuacji mam zrobić ??? Czy to możliwe, żę jest jakiś błąd w zadaniu ???

Fibik · Post autor: **Fibik** » 13 gru 2005, o 11:22

We wzorku na pole podstawy macie błąd: pod pierwiastkiem powinno być \(\displaystyle{ a^2 - b^2/4}\)

domel666 · Post autor: **domel666** » 13 gru 2005, o 17:30

Fakt. Jest tam błąd, ale to jest mało istotne bo chodzio o tą "magiczną" wysokość.

Anatol · Post autor: **Anatol** » 13 gru 2005, o 19:12

Odpowiedź jest poprawna.

Rozważ przekrój ostrosłupa płaszczyzną zawierająca wysokość h podstawy i krawędź boczną b. Jest to trójkąt rwnoramienny.

Fibik · Post autor: **Fibik** » 13 gru 2005, o 19:26

Masz trójkąt o podstawie h oraz bokach: h i b
gdzie: h - wysokość trójkąta o podstawie b, i bokach a, a, czyli: \(\displaystyle{ h = \sqrt{a^2-(b/2)^2}}\)

H - jest wysokością tego pierwszego - jego pole:
\(\displaystyle{ S = hH/2 = b\sqrt{h^2-b^2/4}/2}\)
czyli: \(\displaystyle{ H = \frac{b}{h}\sqrt{h^2-b^2/4} = b\sqrt{1-(b/2h)^2}}\)

\(\displaystyle{ V = Hha^2/6 = b\sqrt{1-(b/2h)^2}ha^2/6 = ...}\)

domel666 · Post autor: **domel666** » 13 gru 2005, o 21:04

Myślę, żę Fibik zrobił to źle bo nadal nie znamy WYSOKOŚCI

:(
Zadanie TRAGEDIA !!! Nie ma co.

Fibik · Post autor: **Fibik** » 14 gru 2005, o 15:59

Czytać się naucz.

domel666 · Post autor: **domel666** » 14 gru 2005, o 18:41

Może lepiej to TY naucz się ZROZUMIALE pisać, bo z tego co napisałes to niewiele się dowiedziałem. Mam założyć nowy temat, w którym zapytam się o co chodzi w tym co napisałeś ???

Fibik · Post autor: **Fibik** » 14 gru 2005, o 18:59

Na drzewo, banany prostować!

domel666 · Post autor: **domel666** » 14 gru 2005, o 19:09

No dobra, ale chyba mi nie powiesz, że to co TOBIE wyszło jest zgodne w 100% z odpowiedzią z książki.

Fibik · Post autor: **Fibik** » 14 gru 2005, o 21:24

jest sobie taka jakaś 'zwyczajna' wysokość:
\(\displaystyle{ h^2 = a^2-\frac{b^2}{4}}\)
tu jest ta 'magiczna' wysokość:
\(\displaystyle{ H = b\sqrt{1-(b/2h)^2} = b\sqrt{1-\frac{b^2}{4a^2 - b^2}} = b\sqrt{\frac{4a^2-2b^2}{4a^2-b^2}}}\)
a teraz objętość (ledwo półmagiczna):
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}H\frac{1}{2}bh = \frac{1}{6}bb\sqrt{1-(\frac{b}{2h})^2}h = \frac{1}{6}b^2\sqrt{h^2-\frac{b^2}{4}} = \frac{1}{6}b^2\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}}}\)
liczyć dalej?

domel666 · Post autor: **domel666** » 14 gru 2005, o 21:50

No widzisz Jak chcesz to potrafisz ładnie wytłumaczyć
WIELKIE dzięki.