kula wpisana w ostrosłup trójkątny

[mateusz200414]

cześć

główny problem polega na tym, że nie mam pojęcia jaki wybrać przekrój ostrosłupa taki, żeby 'pokrywał' się z kołem wielkim. chodzi mi o to, że np. w stożku wybieramy trójkąt równoramienny o podstawie 2r

na forum nie znalazłem takiego zadania

413. W ostrosłup prawidłowy trójkątny wpisano kulę o promieniu r. Ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

pozdrawiam

[edit]:
Odpowiedź: \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}r^3 \frac{cos^4 \alpha}{sin^2 \alpha cos2 \alpha}}\)

[anna_]

Podpowiedź w postaci rysunku:

Gdyby w ostrosłup wpisać stożek, to jego przekrój osiowy byłby tym trójkątem o ramionach narysowanych czarnym kolorem.
Kula wpisana w ostrosłup jest styczna do jego ścian (nie jest styczna do krawędzi AE)
G-punkt styczności (punkty styczności to punkty należące do wysokości ścian)

[florek177]

Masz dobry rysunek poglądowy. z tego możesz wyjąć trójkąt prostokątny: \(\displaystyle{ H, \frac{1}{3} h_{p}; h_{s} \,\,\,}\) o kącie \(\displaystyle{ 2 \, \alpha \,\,\,\,}\) ; dorysuj promienie \(\displaystyle{ r \,\,\,}\) do podstawy i wysokości ściany bocznej. Wreszcie dorysuj dwusieczną tego kąta .

Masz pole podstawy: \(\displaystyle{ P_{p} = \frac{\sqrt{3}}{4} \, a^{2} \,\,\,}\) ; oraz \(\displaystyle{ H = \frac{1}{3} \, h_{p} \, tg(2 \, \alpha) \,\,\,}\) ; ponadto: \(\displaystyle{ \frac{r}{\frac{1}{3} \, h_{p}} = tg(\alpha) \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ h_{p} \,\,\,}\) wyraź przez \(\displaystyle{ a \,\,\,}\) i podstaw do wzoru na V.

\(\displaystyle{ V = \sqrt{3} \, r^{3} \, \frac{tg(2 \, \alpha)}{tg^{3}(\alpha)}\,\,\,}\) --> wychodzi na to samo, ale prościej.

[mateusz200414]

niestety mimo rysunku tego nie widzę ;/ mogłabyś wprowadzić jakiś opis?

natomiast to co zapisał florek177 jest dla mnie jasne, nie ma potrzeby wracać do tego

[anna_]

No to się pogubiłam.
Potrzebujesz jeszcze jakiejś pomocy czy nie?

[mateusz200414]

tak, nadal nie wiem dlaczego ten przekrój wygląda tak, a nie inaczej

[florek177]

Kula wpisana w ostrosłup prawidłowy jest styczna do podstawy i do ścian bocznych - punkt styczności jest w spodku wysokości ostrosłupa i należy do wysokości ścian bocznych, środek kuli należy do wysokości H. Odległość środka kuli od podstawy i od ścian bocznych jest równa - r.
Do prawidłowej analizy wystarczy trójkąt FED. Wszystko jest na nim zaznaczone: OE = OG = r; ED = 1/3 hp; OD - dwusieczna kąta - dorysować.

[anna_]

Dorysowałam tą dwusieczną i dorzuciłam w poście wyżej jeszcze jeden rysunek.
Trzy punkty styczności kuli leżą na wysokościach ścian bocznych ostrosłupa (to te czarne linie - poza tą jedną z lewej strony), a jeden (ten styczny do podstawy) jest punktem przecięcia się wysokości trójkąta równobocznego.

Gdybyś w ten ostrosłup wpisał stożek to jego tworzącymi byłyby te czarne odcinki (trzy z nich są jednocześnie wysokościami ścian bocznych). Podstawą byłoby koło wpisane w podstawę ostrosłupa.

[mateusz200414]

teraz jest jasne, dzięki!