Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy \(\displaystyle{ a=6 cm}\) i kącie nachylenia krawędzi bocznej do podstawy o mierze \(\displaystyle{ \alpha=60^{o}}\). Oblicz objętość i pole powierzchni tego ostrosłupa.
Proszę o pomoc, bo zupełnie nie wiem, jak się do tego zabrać. Z góry dziękuję.
ostrosłup prawidłowy trójkątny
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
ostrosłup prawidłowy trójkątny
Niech \(\displaystyle{ h, H}\) oznaczają długość wysokości ściany bocznej oraz długość wysokości ostrosłupa odpowiednio.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt{3}}{3}\tan\alpha=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6 (cm)}\).
Ponieważ w myśl twierdzenia Pitagorasa zachodzi równość \(\displaystyle{ H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{6})^2=h^2}\), to z powyższego otrzymujemy \(\displaystyle{ h^2=6^2+(\sqrt{3})^2=39}\), czyli \(\displaystyle{ h=\sqrt{39} (cm)}\) (bo \(\displaystyle{ h>0}\) jako długość odcinka).
Ze wzoru na objętość ostrosłupa mamy
Z założenia mamy \(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt{3}}{3}\tan\alpha=2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=6 (cm)}\).
Ponieważ w myśl twierdzenia Pitagorasa zachodzi równość \(\displaystyle{ H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{6})^2=h^2}\), to z powyższego otrzymujemy \(\displaystyle{ h^2=6^2+(\sqrt{3})^2=39}\), czyli \(\displaystyle{ h=\sqrt{39} (cm)}\) (bo \(\displaystyle{ h>0}\) jako długość odcinka).
Ze wzoru na objętość ostrosłupa mamy
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 6=18\sqrt{3} (cm^3)}\)
, ze wzoru na pole powierzchni ostrosłupa dostajemy natomiast \(\displaystyle{ P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+4\cdot\frac{ah}{2}=9\sqrt{3}+12\sqrt{39}=3\sqrt{3}(3+4\sqrt{13}) (cm^2)}\)
.