Stosunek objętości stożka do objętości kuli:

[Asja90]

W stożek, w którym kąt między tworzącą, a podstawą ma miarę \(\displaystyle{ 2 \alpha}\) wpisano kulę.
Oblicz stosunek objętości stożka do objętości kuli.

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ r}\) - promień kuli
\(\displaystyle{ r_s}\) - promień podstawy stożka

Stosunek objętości stożka do objętości kuli:

\(\displaystyle{ \frac{V_s}{V_k}= \frac{ \frac{1}{3} \pi r_{s}^2 H}{ \frac{4}{3} \pi r^3 }}\)

Wyrazimy \(\displaystyle{ r_s}\) i \(\displaystyle{ H}\) za pomocą \(\displaystyle{ r}\).
Środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia się dwusiecznych kątów w trójkącie. Mamy trójkąt prostokątny DOB gdzie:
\(\displaystyle{ tg \alpha= \frac{r}{r_s}}\) czyli \(\displaystyle{ r_s= \frac{r}{tg \alpha}}\).

W trójkącie prostokątnym DCB \(\displaystyle{ tg 2\alpha= \frac{H}{r_s}}\) czyli \(\displaystyle{ H=tg 2\alpha \cdot r_s=tg 2\alpha \cdot \frac{r}{tg \alpha}}\).

Teraz wystarczy wstawić do ilorazu objętości tych brył i wyliczyć stosunek