1.W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym dana jest dł. wys. h i kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) wyznaczony przez 2 sąsiednie ściany boczne. Wyznacz dł. krawędzi podstawy.
2.W ostrosłupie prawidlowym trójkątnym dł. krawędzi bocznej wynosi b, kąt dwuścienny utworzony przez ściany boczne wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\). Obl. objętośc ostrosłupa.
2 podobne zadanka z ostrosłupami
-
Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
2 podobne zadanka z ostrosłupami
2. Załóżmy, że krawędź podstawy jest równa \(\displaystyle{ a}\), a więc z tw. Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ H=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}}\) oraz \(\displaystyle{ h=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}\). (H-wysokość ostrosłupa, h-wysokość ściany bocznej).
Teraz korzystając z ramienia kąta dwuściennego (x) otrzymujemy, że pole sciany bocznej to
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}xb}\) i stąd \(\displaystyle{ x=\frac{ah}{b}=\frac{a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}{b}}\)
I z tw. cosinusów
podstawiamy pod x wyliczona wcześniej wartośc i po krótkich przekształceniach dostajemy \(\displaystyle{ a^2=\frac{2b^2(2cos\alpha-1)}{cos\alpha-1}}\). wystarczy podstawic do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}}\)
Teraz korzystając z ramienia kąta dwuściennego (x) otrzymujemy, że pole sciany bocznej to
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}xb}\) i stąd \(\displaystyle{ x=\frac{ah}{b}=\frac{a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}}{b}}\)
I z tw. cosinusów
\(\displaystyle{ a^2=2x^2-2x^2cos\alpha}\)
podstawiamy pod x wyliczona wcześniej wartośc i po krótkich przekształceniach dostajemy \(\displaystyle{ a^2=\frac{2b^2(2cos\alpha-1)}{cos\alpha-1}}\). wystarczy podstawic do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}}\)