Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
liceum.liceum
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 10 gru 2008, o 14:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Liceum

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: liceum.liceum »

1. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 5 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa, jeśli przekątna jego ściany bocznej tworzy z przekątną graniastosłupa kąt 30 stopni.

2. Kąt miedzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równy 60 stopni. Wykaż, że taki graniastosłup jest sześcianem.

3. Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej 6cm i wysokości 8sm. Wyznacz kąt, jaki tworzą przekątne tego graniastosłupa wychodzącego z jednego wierzchołka.

4. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4cm. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa, jeśli przekątna graniastosłupa tworzy z przekątną jednej ze ścian bocznych kąt 30 stopni.
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: Sherlock »

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com


Zad. 1

Do pola powierzchni całkowitej potrzebujemy wysokości graniastosłupa H. W trójkącie prostokątnym ADF z tangensa \(\displaystyle{ 30^0}\) wylicz długość boku AF. Potem w trójkącie prostokątnym BAF z tw. Pitagorasa wylicz |BF| czyli szukane H.

Zad. 2

Mamy trójkąt równoramienny AHF. Przy wierzchołku jest kąt \(\displaystyle{ 60^0}\), przy podstawie są zatem dwa kąty po\(\displaystyle{ 60^0}\) - jest to trójkąt równoboczny. Jeśli trójkąt równoboczny, to wszystkie boki ma równej długości - przekątna podstawy i przekątne ścian bocznych mają takie same długości. W podstawie mamy kwadrat, jego bok ma długość np. \(\displaystyle{ a}\)przekątna podstawy ma zatem długość \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\). Ściana boczna (prostokąt) ma także przekątną równą \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\) i jeden z boków równy \(\displaystyle{ a}\) (wspólny z podstawą) - wynika z tego (np. tw. Pitagorasa), że drugi bok też musi mieć długość \(\displaystyle{ a}\) dany graniastosłup to sześcian

Zad. 3
Wyznacz kąt, jaki tworzą przekątne tego graniastosłupa wychodzącego z jednego wierzchołka.
treść ok? bo z jednego wierzchołka wychodzi jedna przekątna graniastosłupa

Zad. 4

Długość przekątnej graniastosłupa |DF| wylicz z sinusa \(\displaystyle{ 30^0}\) w trójkącie prostokątnym ADF.
liceum.liceum
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 10 gru 2008, o 14:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Liceum

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: liceum.liceum »

oczywiście, że popieprzyłem treść:D

Zad. 3
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy równej 6cm i wysokości 8cm. Wyznacz kąt, jaki tworzą przekątne sąsiednich ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzącego z jednego wierzchołka.


Dzięki za tamte zadanka!
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: Sherlock »

Zerknij na rysunek zad. 2 (kąt jest zaznaczony, ale niekoniecznie to \(\displaystyle{ 60^0}\)).
Masz dane potrzebne do wyliczenia boków trójkąta równoramiennego AHF (skorzystaj z tw. Pitagorasa). Jak znajdziesz już długości boków to cosinus szukanego kąta możesz policzyć np. z tw. cosinusów.
alimak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 1 mar 2008, o 16:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Ostrów Wielkopolski
Podziękował: 31 razy

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: alimak »

dlaczego w zad. 1 liczymy tg 30?? gdzie tam kąd prosty??
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: Sherlock »

Trójkąt ADF jest prostokątny (kąt prosty to kąt DAF), odcinek DA jest prostopadły do płaszczyzny ściany ABEF, żeby jednak nie było wątpliwości:

\(\displaystyle{ |AF|^2=|AB|^2+|BF|^2}\)
\(\displaystyle{ |DF|^2=|BF|^2+|BD|^2}\)
\(\displaystyle{ |BD|^2=|AD|^2+|AB|^2}\)

sprawdzimy czy trójkąt ADF jest prostokątny:
\(\displaystyle{ |DF|^2=|AD|^2 + |AF|^2}\)
podstawiamy:

\(\displaystyle{ |BF|^2+|BD|^2=|AD|^2+|AB|^2+|BF|^2}\)
\(\displaystyle{ |BF|^2+|AD|^2+|AB|^2=|AD|^2+|AB|^2+|BF|^2}\)
na podstawie tw. odwrotnego do tw. Pitagorasa trójkąt ADF jest prostokątny
ODPOWIEDZ