Zadanie z ostrosłupem. Obliczenie objętości i pola powiechni

[seba1420]

Krawedż boczna ostrosłupa prawidłoewgo trójkątnego na długość b i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa. Oblicz objętość i pole powierchni bocznej tego ostrosłupa/

[lukasz1804]

Rozważmy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ b}\) i przyprostokątnych długości \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3},\ H}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest długością krawędzi podstawy ostrosłupa, a \(\displaystyle{ H}\) - wysokością w ostrosłupie.
Z definicji sinusa i kosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy odpowiednio:

\(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{H}{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{b}}\),

skąd dostajemy \(\displaystyle{ H=b\sin\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3}=b\cos\alpha}\), tj. \(\displaystyle{ a=b\sqrt{3}\cdot\cos\alpha}\).
Ze wzoru na objętość ostrosłupa (dla ostrosłupa prawidłowego czworokątnego) mamy

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot H=b^2\cos^2\alpha\cdot b\sin\alpha=b^3\sin\alpha\cos^2\alpha}\).

Niech dalej \(\displaystyle{ h}\) oznacza długość wysokości ściany bocznej ostrosłupa. Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ h=\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{b^2-\frac{3}{4}b^2\cos^2\alpha}=\sqrt{\frac{1}{4}b^2+\frac{3}{4}b^2\sin^2\alpha}=\frac{b}{2}\sqrt{1+3\sin^2\alpha}}\).
Ponieważ powierzchnia boczna ostrosłupa składa się z 4 przystających trójkątów (równoramiennych) o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i wysokości opuszczonej na tę podstawę długości \(\displaystyle{ h}\), to ze wzoru na pole trójkąta wynika, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa wynosi

\(\displaystyle{ P_b=4\cdot\frac{1}{2}ah=2ah=b^2\cos\alpha\sqrt{3+9\sin^2\alpha}}\).