ostatnie zadanie -pole czworokąta

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
agucha1712
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 2 sty 2009, o 14:50
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 8 razy

ostatnie zadanie -pole czworokąta

Post autor: agucha1712 »

Z punktu A leżącego na okręgu o promieniu r= 6 cm i środku O poprowadzono dwie równej długości cięciwy AS i Aw torzące kąt 30 stopni. Oblicz pole czworokąta SOWA.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

ostatnie zadanie -pole czworokąta

Post autor: Swistak »

Skoro AS=AW to oznacza, że kąty środkowe oparte na tych cięciwach są sobie równe. Skoro trójkąty AOW i AOS są równoramienne i ich kąt między ramionami jest równy, to oznacza, że ich kąty między podstawą, a ramionami także są równe (taki kąt w trójkącie AOS ma taką samą miarę co taki kąt w trójkącie AOW), z czego wynika, że \(\displaystyle{ \sphericalangle OAS= OAW=\frac{30}{2}=15}\) stopni.
Skoro te kąty są równe 15 stopni to znaczy, że ich kąty między ramionami są równe \(\displaystyle{ 180-(2\cdot 15)=150}\) stopni. \(\displaystyle{ P_{SOWA}=P_{AOS}+P_{AOW}}\). Oczywiście oba trójkąty są przystające. \(\displaystyle{ P_{AOS}=\frac{|AO|\cdot |OS| \sin 150}{2}=\frac{6\cdot 6\cdot \sin 30}{2}=18\cdot \frac{1}{2}=9cm^{2}}\)
Pole czworokąta SOWA jest równe podwojonemu polu trójkąta AOS (bo trójkąt AOS przystaje do trójkąta AOW), więc \(\displaystyle{ P_{SOWA}=9 2=18 cm^{2}}\).

P.S. Zły dział! To zadanie należy do geometrii na płaszczyźnie, czyli planimetrii, a nie stereometrii, czyli geometrii w przestrzeni.
ODPOWIEDZ