dowód w przestrzeni

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
klimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tu
Podziękował: 42 razy

dowód w przestrzeni

Post autor: klimat »

Wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC }\)( \(\displaystyle{ \angle ABC=90^\circ}\)) leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ P}\). Płaszczyzna trójkąta przecina płaszczyznę \(\displaystyle{ P}\) w linii \(\displaystyle{ L}\). Kąt między \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ AB}\) wynosi \(\displaystyle{ a}\), a kąt między \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ BC}\) wynosi \(\displaystyle{ b}\). Kąt między dwiema płaszczyznami wynosi \(\displaystyle{ c}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \sin^2c = \sin^2a + \sin^2b.}\)
Ostatnio zmieniony 16 cze 2021, o 10:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: dowód w przestrzeni

Post autor: matmatmm »

Czy czasem nie ma błędu w treści? W sytuacji takiej jak na rysunku mamy

\(\displaystyle{ \sin^2a+\sin^2b=\sin^2a+\sin^2(90^{\circ}-a)=\sin^2a+\cos^2a=1}\)

Natomiast kąt \(\displaystyle{ c}\) nie musi być równy \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\).
klimat
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 117
Rejestracja: 13 paź 2017, o 08:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tu
Podziękował: 42 razy

Re: dowód w przestrzeni

Post autor: klimat »

A gdyby zmienić treść na taką, czy byłoby to wtedy prawdą?

Wierzchołek \(\displaystyle{ B}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC }\)( \(\displaystyle{ \angle ABC=90^\circ}\)) leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ P}\). Płaszczyzna trójkąta przecina płaszczyznę \(\displaystyle{ P}\) w linii \(\displaystyle{ L}\). Kąt między \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ AB}\) wynosi \(\displaystyle{ a}\), a kąt między \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ BC}\) wynosi \(\displaystyle{ b}\). Kąt między dwiema płaszczyznami wynosi \(\displaystyle{ c}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ \sin^2c = \sin^2a + \sin^2b.}\)
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2282
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 88 razy
Pomógł: 351 razy

Re: dowód w przestrzeni

Post autor: matmatmm »

Wyszło mi, że tak, ale przez takie żmudne obliczenia, że na pewno nie wstawię ich w całości.

Niech prosta prostopadła do \(\displaystyle{ L}\) zawarta w płaszczyźnie trójkąta i przechodząca przez \(\displaystyle{ B}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Niech \(\displaystyle{ A_1, C_1, M_1}\) będą rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio \(\displaystyle{ A, C, M}\) na płaszczyznę \(\displaystyle{ P}\). Wówczas z twierdzenia z trzech prostopadłych \(\displaystyle{ M_1B \perp L}\), a więc kąt \(\displaystyle{ c}\) to kąt \(\displaystyle{ \angle MBM_1}\). Oznaczając \(\displaystyle{ x=AB, y=CB, r=\frac{CM}{AC}=\frac{C_1M_1}{A_1C_1}}\) obliczyłem, że

\(\displaystyle{ \cos\angle A_1BC_1=-\tg a \tg b}\)
\(\displaystyle{ MM_1= y(1-r)\sin b +xr\sin a }\)
\(\displaystyle{ BM^2=x^2r^2+y^2(1-r)^2}\)
\(\displaystyle{ BM_1^2=x^2r^2\cos^2 a+y^2(1-r)^2\cos^2 b-2abr(1-r)\sin a\sin b}\)
\(\displaystyle{ \sin CBM=\frac{xr}{BM}}\)
\(\displaystyle{ \sin C_1BM_1= \frac{xr\cos a \sin \angle A_1BC_1 }{BM_1} }\)
\(\displaystyle{ \cos b \sin \angle C_1BM_1=\sin\angle CBM}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{y\sin a}{x\sin b+ y\sin a}}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 c= \frac{MM_1^2}{BM^2}=\sin^2a+\sin^2b}\)

Nie gwarantuję, że nie ma tu błędów :P
ODPOWIEDZ