Pole ściany w ostrosłupie

[Bellward]

Problem nr 1
Zadanie:
Podstawą ostrosłupa jest kwadrat ABCD o boku długości 4. Krawędź boczna DS jest
prostopadła do podstawy i ma długość 3 (zobacz rysunek w linku.)

Pole ściany BCS tego ostrosłupa jest równe:
A. 20 B. 10 C. 16 D. 12

Kod: Zaznacz cały

https://hubert23.imgbb.com

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left[ DC \right]^{2}+\left[ SD\right]^{2}=\left| SC\right|^{2} }\)
\(\displaystyle{ 3 ^{2} + 4 ^{2} = x ^{2} }\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 25}\)
\(\displaystyle{ x = 5}\)
Obliczam obwód trójkąta \(\displaystyle{ BCS}\)
\(\displaystyle{ 2p=a+b+c}\)
\(\displaystyle{ 2p=5+5+4}\)
\(\displaystyle{ 2p=14}\)
\(\displaystyle{ p=7}\)
Obliczam pole trójkąta \(\displaystyle{ BCS}\)
\(\displaystyle{ P= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} }\)
\(\displaystyle{ P= \sqrt{7(7-5)(7-5)(7-4)} }\)
\(\displaystyle{ P= \sqrt{84} cm ^{2} }\)
Nie ma takiej odpowiedzi. Co źle wykonałem?

Problem nr 2
Zadanie:
Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12 (zobacz rysunek w linku). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt \(\displaystyle{ \alpha }\) taki, że \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{2}{ \sqrt{5} } }\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \left| AO\right|=2 }\)
\(\displaystyle{ \left| SO\right|= \sqrt{5} = H }\)
Obliczam długość boku kwadratu = \(\displaystyle{ a}\) z własności o trójkącie 45 stopni.
\(\displaystyle{ a \sqrt{2}=12 }\)
\(\displaystyle{ a=6 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot Pp \cdot H }\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot (6 \sqrt{2}) ^{2} \cdot \sqrt{5}}\)
\(\displaystyle{ V=24 \sqrt{5} }\)
Powinno wyjść \(\displaystyle{ V=170 \frac{2}{3} \sqrt{5} }\)
Jaki jest błąd?

[piasek101]

1) Trójkąt BCS jest prostokątny.
Znaleziony (x) jest ok - dalej już masz źle.

2) Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ |AO| = 2}\) ?

Przecież \(\displaystyle{ \sqrt{5} ^2+2^2 \neq 12^2}\)

[Bellward]

1) Trójkąt BCS jest prostokątny.
Znaleziony (x) jest ok - dalej już masz źle.

2) Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ |AO| = 2}\) ?

Przecież \(\displaystyle{ \sqrt{5} ^2+2^2 \neq 12^2}\)

1) Dlaczego źle?
\(\displaystyle{ \left[ BCS \right]}\) jest równoramienny, dlatego \(\displaystyle{ \left[SC \right]=5}\), oraz \(\displaystyle{ \left[ BS\right] }\)też jest 5.

2)\(\displaystyle{ \left[ AO\right]=2 }\) dlatego, że w treści zadania jest napisane - "Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt
\(\displaystyle{ \alpha }\) taki, że \(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{2}{ \sqrt{5} } }\)

[piasek101]

1) Trójkąt BCS jest prostokątny.

2) Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ |AO| = 2}\) ?

Przecież \(\displaystyle{ \sqrt{5} ^2+2^2 \neq 12^2}\)

1) U Ciebie nie jest prostokątny.
A jego przyprostokątne to BC oraz CS.

2) Nie zauważyłeś drugiej linijki jaką napisałem.
Z podanego tangensa wynika tylko, że wynik podzielenia długości odpowiednich boków jest taki jak podany, mogą to być (nie w tym zadaniu - bo mają spełnić Pitagorasa) np: \(\displaystyle{ 200}\) oraz \(\displaystyle{ 100\sqrt 5}\).
Długości tych boków trzeba wyznaczyć.

[Bellward]

1) Trójkąt BCS jest prostokątny.

2) Skąd wiesz, że \(\displaystyle{ |AO| = 2}\) ?

Przecież \(\displaystyle{ \sqrt{5} ^2+2^2 \neq 12^2}\)

1) U Ciebie nie jest prostokątny.
A jego przyprostokątne to BC oraz CS.

2) Nie zauważyłeś drugiej linijki jaką napisałem.
Z podanego tangensa wynika tylko, że wynik podzielenia długości odpowiednich boków jest taki jak podany, mogą to być (nie w tym zadaniu - bo mają spełnić Pitagorasa) np: \(\displaystyle{ 200}\) oraz \(\displaystyle{ 100\sqrt 5}\).
Długości tych boków trzeba wyznaczyć.

1)Po czym mam wnioskować, że \(\displaystyle{ \left[ BCS\right]}\)jest prostokątny? nie domyśliłbym się tego.
2)Czyli jeżeli mam podany stosunek dwóch boków w trójkącie to nigdy nie mogę sobie tego podpisać tak jak powyżej? całe życie w błędzie. W innych zadaniach tak liczyłem i było dobrze.
Faktycznie \(\displaystyle{ 2 ^{2}+ \sqrt{5} ^{2} \neq 12 ^{2} }\)

[Jan Kraszewski]

W innych zadaniach tak liczyłem i było dobrze.

Zbieg okoliczności.

JK

[piasek101]

1) Wynika to z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych.
Ale zadanie jest testowe więc wystarczy zobaczyć prostopadłość BC do CS, bo CS leży na płaszczyźnie CDS a do niej (tej płaszczyzny) prostopadłe jest BC.

2) W tym zadaniu (jak i innych podobnych) należało przyjąć, że odpowiednie odcinki mają \(\displaystyle{ 2x}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt 5 x}\).

[Bellward]

1) Wynika to z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych.
Ale zadanie jest testowe więc wystarczy zobaczyć prostopadłość BC do CS, bo CS leży na płaszczyźnie CDS a do niej (tej płaszczyzny) prostopadłe jest BC.

2) W tym zadaniu (jak i innych podobnych) należało przyjąć, że odpowiednie odcinki mają \(\displaystyle{ 2x}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt 5 x}\).

Przede wszystkim chciałem Ci podziękować za pomoc.
1)Po czym mam stwierdzić, że \(\displaystyle{ BC \perp CS }\) ? Ja tu widzę kąt ostry.
To, że \(\displaystyle{ AB\perp CB \wedge DC \perp CB }\) to widać, ale tego wyżej nie dostrzegam.
2) Rozumiem

[Jan Kraszewski]

1)Po czym mam stwierdzić, że \(\displaystyle{ BC \perp CS }\) ? Ja tu widzę kąt ostry.

Nie wyciągaj kategorycznych wniosków z rysunków poglądowych, zwłaszcza w stereometrii. To, że widzisz tu kąt ostry, nie ma nic do rzeczy.

Przeczytaj jeszcze raz uważnie:

Ale zadanie jest testowe więc wystarczy zobaczyć prostopadłość \(\displaystyle{ BC}\) do \(\displaystyle{ CS}\), bo \(\displaystyle{ CS}\) leży na płaszczyźnie \(\displaystyle{ CDS}\) a do niej (tej płaszczyzny) prostopadłe jest \(\displaystyle{ BC}\).

Czego tu nie rozumiesz?

JK