zadanie z ćwiartką koła wpisaną w kwadrat

[tyop]

Z kwadratu odcięto ćwiartkę koła o promieniu równym długości boku kwadratu. Następnie w pozostałą figurę wpisano koło, którego pole jest równe PI. Oblicz długość boku kwadratu. Wynik przedstaw w postaci a+ b\(\displaystyle{ \sqrt{c}}\), gdzie a,b,c są liczbami naturalnymi.

[Nakahed90]

Narysuj sobie ten rysunek, i zaznacz przekątną kwadratu.
Oznaczmy bok kwadratu jako x, pole koła równe jest pi czyli jego promień jest równy 1.
Wiemy, że
\(\displaystyle{ d=x\sqrt{2}}\)
Po zaznaczeniu przekątnej kwadratu oraz obu promieni kół odczytamy, że
\(\displaystyle{ d=x+1+\sqrt{2}}\)
Teraz przyrównujemy to do siebie
\(\displaystyle{ x\sqrt{2}=x+\sqrt{2}+1}\)
\(\displaystyle{ x(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}+1}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=(\sqrt{2}+1)^{2}=3+2\sqrt{2}}\)