problem z zadaniem o trapezie

[MeekL]

Przez wierzchołek A trapezu ABCD (AB równoległe do CD) poprowadzono prostą prostopadłą do ramienia BC, która przecina to ramię w punkcie E, a przedłużenie podstawy CD w punkcie F. Pole trójkąta ABE jest równe 96 cm^2, |CF| = 5 cm i sinus kąta CFE jest równy 0,8. Oblicz wysokość trapezu ABCD.

Proszę o pomoc. Z góry dziękuję.

[Tristan]

Skoro \(\displaystyle{ sin = \frac{|CE|}{|CF|}=\frac{4}{5}}\) i \(\displaystyle{ CF=5}\), więc \(\displaystyle{ |CE|=\frac{4}{5} 5=4}\). Z tw. Pitagorasa w trójkącie CEF, wyliczymy sobie teraz bok |EF| który równy jest 5. Z tych danych będziemy mogli policzyć pole trójkąta CEF. Mamy więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin |CF| |EF|=6}\). To pole można oczywiście wyrazić za pomocą \(\displaystyle{ \frac{1}{2} |CF| h_{1}}\) z czego mamy, że \(\displaystyle{ h_{1}= \frac{12}{5}}\). Ponieważ wysokość w tym trapezie jest równa \(\displaystyle{ h=h_{1}+h_{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ h_{2}}\) jest wysokością trójkąta ABE. Teraz wiedząc, że trójkąty ABE i CEF są podobne ( ponieważ kąt CFE jest równy kątowi ABE i kąty AEB oraz CEF są proste), należey wyznaczyć skalę podobieństwa. Obliczamy więc, z pól, że \(\displaystyle{ k^2= \frac{96}{12}}\) czyli k=12. Z tego mamy \(\displaystyle{ h_{2}= h_{1} 12=\frac{48}{5}}\) więc wysokość w tym trapezie wynosi 12.