Oblicz pole czerech trójkątów..

[Agniecha1818]

W trapez o polu 168 i ramionach długości 13 i 15 można wpisac okrąg. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z nich.

[aga92]

W trapez można wpisać okrąg \(\displaystyle{ \Rightarrow a +b = c + d a + b = 28}\)

Pole wynosi 168 \(\displaystyle{ \Rightarrow \frac{a+b}{2} h = 168 h = 12}\)

Narysuj trapez, oznacz odpowiednie długości i zaznacz obie wysokości wychodzące z wierzchołków krótszej podstawy. Na podstawie tw. Pitagorasa obliczysz długości pomiędzy wierzchołkiem a spodkami wysokości trapezu.

Jeżeli krótszą podstawę oznaczymy jako \(\displaystyle{ x}\) to dłuższa podstawa jest podzielona na odcinki \(\displaystyle{ 5, \ x}\) i \(\displaystyle{ 9}\).

Stąd \(\displaystyle{ 5 + x + 9 + x = 28 x = 7}\), czyli podstawy mają długości \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 21}\).

Oznaczmy jako \(\displaystyle{ h_{1}}\) i \(\displaystyle{ h_{2}}\) odpowiednio wysokości trójkątów, któych podstawa jest podstawą trapezu (są one podobne).

\(\displaystyle{ \begin{cases} h_{1} + h_{2} = h \\ \frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{7}{21} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ h_{1} = 3}\), \(\displaystyle{ h_{2} = 9}\)

Pole mniejszego trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{7 3}{2} = 10,5}\)
Pole większego trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{21 9 }{2} = 94,5}\)

Pola dwóch pozostałych trójkątów są równe, więc wynoszą \(\displaystyle{ \frac{168 - 10,5 - 94,5}{2} = 32,5}\)

[anna_]

Pola dwóch pozostałych trójkątów są równe, więc wynoszą \(\displaystyle{ \frac{168 - 10,5 - 94,5}{2} = 32,5}\)

Dlaczego zakładasz, że są równe?
Przecież trapez nie był równoramienny.

[aga92]

Dlaczego zakładasz, że są równe?
Przecież trapez nie był równoramienny.

Oznacz wierzchołki jako ABC i D, a punkt przecięcia przekątnych jako S.
Wtedy \(\displaystyle{ P_{ADB} = P_{ABC}}\) (taka sama wysokość i wspólna podstawa)
\(\displaystyle{ P_{ADB} = P_{ABC}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABS} + P_{ASD} = P_{ABS} + P_{BSC}}\)
\(\displaystyle{ P_{ASD} = P_{BSC}}\)
Dlatego też są równe

[anna_]

I właśnie o to mi chodziło.