Stosunki w prostokącie oraz styczne do okręgu

[rbt]

Proszę o szybka pomoc z tymi zadaniami:
1. W prostokącie ABCD w którym |AD|/|AB| = 1/4, połączono wierzchołek A ze środkim E boku CD. Oblicz odległość |DF| wierzchołka D od odcinka AE oraz stosunek długości przekątnej prostokąta do długości odcinka |DF|.
2. Dane są 2 okręgi styczne zewnętrznie o promieniach długości 3r i r . Poprowadzono do nich wspólną styczną , której punkt wspólny z większym okręgiem to A, a z mniejszym okręgiem B. Oblicz pole czwrokąta SOBA, gdzie S to środek większego okręgu, a O to środek mniejszego.

[lukasz1804]

1. Oznaczmy \(\displaystyle{ a=|AD|}\) dla pewnego \(\displaystyle{ a>0}\). Wtedy \(\displaystyle{ |AB|=4a}\). Zauważmy, że trójkąt ADE jest prostokątny i odcinek DF jest jego wysokością opuszczoną z wierzchołka kąta prostego. Ze wzoru na pole trójkąta możemy wyrazić pole P trójkąta ADE na dwa sposoby:

\(\displaystyle{ P=\frac{|AD||DE|}{2}=\frac{|AE||DF|}{2}}\),

skąd wynika, że \(\displaystyle{ |DF|=\frac{|AD||DE|}{|AE|}}\). Mamy przy tym \(\displaystyle{ |DE|=\frac{|CD|}{2}=2a}\) (z określenia punktu E) oraz, w myśl twierdzenia Pitagorasa, \(\displaystyle{ |AE|=\sqrt{|AD|^2+|DE|^2}=\sqrt{a^2+(2a)^2}=a\sqrt{5}}\). Zatem \(\displaystyle{ |DF|=\frac{a\cdot 2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}}\).
Przekątna prostokąta, np. AC, ma długość \(\displaystyle{ |AC|=\sqrt{|AB|^2+|BC|^2}=a\sqrt{17}}\), więc szukany stosunek wynosi

\(\displaystyle{ \frac{|AC|}{|DF|}=\frac{a\sqrt{17}}{\frac{2a\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{85}}{2}}\).

[progresywnie]

Ja również mam to zadanie, może mi ktoś wytłumaczyć jak wyrazić pole P trójkąta ADE z konkretnie takiego wzoru: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)a \(\displaystyle{ \cdot}\)h ?
Oraz jeśli chodzi o Pitagorasa to z tego wzoru: \(\displaystyle{ a^{2}}\) +\(\displaystyle{ b^{2}}\)=\(\displaystyle{ c^{2}}\)?
Po prostu trudniej mi z przekształconymi...