Zadanie z okręgiem

[_p_h_p_]

Na okręgu o promieniu r obrano dwa punkty A i B tak, że podzieliły one okrąg na dwa łuki o długościach odpowiednio \(\displaystyle{ \frac{1}{3} i \frac{2}{3}}\). Na krótszym z tych łuków obrano punkt C tak, że |AC| = 10 i |BC| = 13. Oblicz promień i wyznacz |AB|

[Tristan]

Oznaczmy sobie jako |AB|=a. Na dłuższym z tych łuków wyznaczmy punkt D, w taki sposób, że |AB|=|BD|=|AD|. W ten sposób utworzyliśmy trójkąt równoboczny opisany na okręgu. Czyli kąt ADB ma 60 stopni. Teraz potrzebujemy kąta ACB\(\displaystyle{ = }\). Zauważmy, że dostaliśmy również czworokąt ADBC, który też jest opisany na okręgu, więc spełnia własność, iż \(\displaystyle{ 60^{\circ}+ =180^{\circ}}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha=120^{\circ}}\). Korzystając z twierdzenia cosinusów obliczamy |AB|, tj:
\(\displaystyle{ a^2=269-260 \cos 120^{\circ}}\)
\(\displaystyle{ a^2=399}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{399}}\)
Teraz, do szczęścia brakuje nam promienia, a wiedząc, że promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to \(\displaystyle{ R=\frac{a \sqrt3}{3}=\frac{a}{\sqrt3}}\), więc obliczamy R, dlatego: \(\displaystyle{ R=\frac{\sqrt{399}}{\sqrt3}=\sqrt{133}}\).