Pole trapez

[mowmisiostro]

W trapezie prostokątnym dłuższa przekątna ma dlugość 12cm i tworzy z dłuższym ramieniem kąt o mierze 30stopni, natomiast z krotszym ramieniem kat o mierze 60 stopni. Oblicz pole tego trapezu.

Bede bardzo wdzieczna za rozwiazanie tego zadania

[RyHoO16]

Na początek należy wykonać rysunek pomocniczy.

Następnie korzystając z tw. Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+h^2=12 \\ \frac{h}{a}= \ctg 60^{\circ} \end{cases} \iff \begin{cases} a=6 \sqrt{3} \\ h=6 \end{cases}}\)

Teraz zajmijmy się drugą podstawą(krótszą). Z funkcji trygonometrycznych mamy równanie:
\(\displaystyle{ \frac{6}{6 \sqrt{3}-b }=\tg 60^{\circ} \iff b=4 \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ P= \frac{(a+b)h}{2}= 30 \sqrt{3}}\)

[Moraxus]

@UP
Widze, że ktoś mnie wyprzedził, ale mój sposób jest inny (bez korzystania z funkcji trygonometrycznych) więc może zostawie.

Skoro kąt między dłuższą przekątną a krótszym bokiem wynosi 60, to kąt między tą przekątną a dolną podstawą będzie 30.
Krótszy bok będzie zatem 2 razy krótszy od przekątnej, czyli jego długość wynosi 6.
Obliczamy teraz długość dolnej podstawy:
\(\displaystyle{ 12 ^{2} =6 ^{2} +x _{2}}\)
\(\displaystyle{ x=6 \sqrt{3}}\)

Zauważ teraz, że gdyby krótszy bok przesunąć w lewo, to razem z dłuższym utworzy on połowę trójkąta równobocznego, w którym 6 będzie wysokością.
Możemy w takim razie napisać:
\(\displaystyle{ 6= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{12}{ \sqrt{3} }=4 \sqrt{3}}\)

Teraz zauważ, że odcinek będący różnicą dłuższej i krótszej podstawy, to połowa boku trójkąta równobocznego o którym była mowa przed chwilą.
\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{3} }{2} =2 \sqrt{3}}\)

Obliczamy teraz długość krótszej podstawy:
\(\displaystyle{ 6 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}=4 \sqrt{3}}\)

Pozostaje już tylko wyliczyć pole ze wzoru na pole trapezu:

\(\displaystyle{ \frac{4 \sqrt{3}+6 \sqrt{3} }{2} 6=30 \sqrt{3}}\)

[Sherlock]

Kod: Zaznacz cały

http://odsiebie.com

1.
\(\displaystyle{ sin 60^0= \frac{b}{12}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{2}= \frac{b}{12}}\)
\(\displaystyle{ b= 6 \sqrt{3}}\)

2.
\(\displaystyle{ cos 60^0= \frac{c}{12}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= \frac{c}{12}}\)
\(\displaystyle{ c=6}\)

3.
\(\displaystyle{ tg 60^0= \frac{c}{x}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3} = \frac{6}{x}}\)
\(\displaystyle{ x=2 \sqrt{3}}\)

4.
\(\displaystyle{ a= b- x= 6 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}}\)

5. Pole:
\(\displaystyle{ P= \frac{4 \sqrt{3}+ 6 \sqrt{3} }{2} 6=30 \sqrt{3}}\)