Pole trapezu
-
- Użytkownik
- Posty: 169
- Rejestracja: 29 sty 2007, o 17:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowy Sącz
- Podziękował: 25 razy
- Pomógł: 17 razy
Pole trapezu
Przekątne trapezu dzielą ten trapez na 4 trójkąty. Oblicz pole trapezu mając dane pola \(\displaystyle{ S_{1}}\) i \(\displaystyle{ S_{2}}\) trójkątów których bokami są podstawy trapezu
- Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Pole trapezu
a - górna podstawa
b - dolna podstawa
\(\displaystyle{ h_1}\) wysokosc w trojkacie p polu \(\displaystyle{ S_1}\) (podstawa a)
\(\displaystyle{ h_2}\) wysokosc w trojkacie p polu \(\displaystyle{ S_2}\) (podstawa b)
te trójkąty są podobne(kk), a skala podobienstwa jest rowna \(\displaystyle{ k =\frac{a}{b} = \frac{h_1}{h_2}}\)
czyli \(\displaystyle{ k^2 = \frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2}{b^2}}\)
\(\displaystyle{ 2S_1=ah_1}\)
\(\displaystyle{ 2S_2=bh_2}\)
oznaczmy pola pozostalych trojkatow jako \(\displaystyle{ S_3 i S_4}\)
zauwazmy ze:
\(\displaystyle{ S_3 + S_2 = 0,5b(h_1+h_2)}\) oraz \(\displaystyle{ S_4+S_2=0,5b(h_1+h_2)}\) czyli
\(\displaystyle{ S_3=S_4}\)
a ponadto \(\displaystyle{ S_3 + S_2 = 0,5b(h_1+h_2) => S_3 = 0,5bh_1}\)
z \(\displaystyle{ \frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2}{b^2}}\) mamy \(\displaystyle{ b=a \sqrt{ \frac{S_2}{S_1} }}\)
podstawiawmy to do\(\displaystyle{ S_3 = 0,5bh_1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ S_3=0,5ah_1*\sqrt{ \frac{S_2}{S_1} }}\)
\(\displaystyle{ S_3=S_1\sqrt{ \frac{S_2}{S_1} }}\)
\(\displaystyle{ S_3= \sqrt{S_1S_2}}\)
\(\displaystyle{ P_c=S_1+S_2+2\sqrt{S_1S_2}}\)
b - dolna podstawa
\(\displaystyle{ h_1}\) wysokosc w trojkacie p polu \(\displaystyle{ S_1}\) (podstawa a)
\(\displaystyle{ h_2}\) wysokosc w trojkacie p polu \(\displaystyle{ S_2}\) (podstawa b)
te trójkąty są podobne(kk), a skala podobienstwa jest rowna \(\displaystyle{ k =\frac{a}{b} = \frac{h_1}{h_2}}\)
czyli \(\displaystyle{ k^2 = \frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2}{b^2}}\)
\(\displaystyle{ 2S_1=ah_1}\)
\(\displaystyle{ 2S_2=bh_2}\)
oznaczmy pola pozostalych trojkatow jako \(\displaystyle{ S_3 i S_4}\)
zauwazmy ze:
\(\displaystyle{ S_3 + S_2 = 0,5b(h_1+h_2)}\) oraz \(\displaystyle{ S_4+S_2=0,5b(h_1+h_2)}\) czyli
\(\displaystyle{ S_3=S_4}\)
a ponadto \(\displaystyle{ S_3 + S_2 = 0,5b(h_1+h_2) => S_3 = 0,5bh_1}\)
z \(\displaystyle{ \frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2}{b^2}}\) mamy \(\displaystyle{ b=a \sqrt{ \frac{S_2}{S_1} }}\)
podstawiawmy to do\(\displaystyle{ S_3 = 0,5bh_1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ S_3=0,5ah_1*\sqrt{ \frac{S_2}{S_1} }}\)
\(\displaystyle{ S_3=S_1\sqrt{ \frac{S_2}{S_1} }}\)
\(\displaystyle{ S_3= \sqrt{S_1S_2}}\)
\(\displaystyle{ P_c=S_1+S_2+2\sqrt{S_1S_2}}\)