W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB ramię ma długość b, a kąt przy
wierzchołku C - miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). D jest takim punktem ramienia BC, że odcinek AD dzieli pole
trójkąta na połowę. Wyznaczyć promienie okręgów wpisanych w trójkąty ABD i ADC.
Dla jakiego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) promienie te są równe?
Trójkąt równoramienny, 2 okręgi wpisane
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
Trójkąt równoramienny, 2 okręgi wpisane
Oznaczam: AB = a; AC = BC = b; AD = c; BD = x; DC = ( b - x ); wys. ABC - h; wya. ADB - h_{1}
Z porównania pól trójkątów mamy: \(\displaystyle{ \, h_{1} = \frac{h}{2} \,\}\) - trójkąty o tej samej podstawie.
Ponadto: \(\displaystyle{ a = 2 \, b \, sin(\frac{\alpha}{2}) \,\}\) i \(\displaystyle{ \,\ h = b \, cos(\frac{\alpha}{2}) \,\}\) .
Z podobieństwa trójkątów : \(\displaystyle{ \frac{h}{b} = \frac{h_{1}}{x}\,\}\) - co daje: \(\displaystyle{ x = \frac{b}{2}}\)
Z tw. cosinusów wyliczam : \(\displaystyle{ c = \frac{b}{2} \, \sqrt{5 - cos(\alpha)}}\)
Pola obu trójkątów są równe połowie trójkąyta ABC, więc: ( rozpisuję dokładnie )
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} a \, h = r_{1} \, \frac{1}{2} \, ( b + b - x + c )}\) i \(\displaystyle{ \,\,\ \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} a \, h = r_{2} \, \frac{1}{2} \, ( a + x + c ) \,\}\) - w nawiasach obwody.
Podstawiamy, redukujemy i wyznaczamy : \(\displaystyle{ r_{1} = \frac{b \, sin(\alpha)}{3 + \sqrt{5 - cos(\alpha)}} \,\,\}\) ; \(\displaystyle{ \, r_{2} = \frac{b \, sin(\alpha)}{1 + 4 \, sin(\frac{\alpha}{2}) + \sqrt{5 - cos(\alpha)}} \,\,\}\)
Z przyrównania : \(\displaystyle{ r_{1} = r_{2} \,\,}\) otrzymamy: \(\displaystyle{ sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} \,\,\}\) --> \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3} \,\,\}\) --> trójkąt równoboczny.
Z porównania pól trójkątów mamy: \(\displaystyle{ \, h_{1} = \frac{h}{2} \,\}\) - trójkąty o tej samej podstawie.
Ponadto: \(\displaystyle{ a = 2 \, b \, sin(\frac{\alpha}{2}) \,\}\) i \(\displaystyle{ \,\ h = b \, cos(\frac{\alpha}{2}) \,\}\) .
Z podobieństwa trójkątów : \(\displaystyle{ \frac{h}{b} = \frac{h_{1}}{x}\,\}\) - co daje: \(\displaystyle{ x = \frac{b}{2}}\)
Z tw. cosinusów wyliczam : \(\displaystyle{ c = \frac{b}{2} \, \sqrt{5 - cos(\alpha)}}\)
Pola obu trójkątów są równe połowie trójkąyta ABC, więc: ( rozpisuję dokładnie )
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} a \, h = r_{1} \, \frac{1}{2} \, ( b + b - x + c )}\) i \(\displaystyle{ \,\,\ \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} a \, h = r_{2} \, \frac{1}{2} \, ( a + x + c ) \,\}\) - w nawiasach obwody.
Podstawiamy, redukujemy i wyznaczamy : \(\displaystyle{ r_{1} = \frac{b \, sin(\alpha)}{3 + \sqrt{5 - cos(\alpha)}} \,\,\}\) ; \(\displaystyle{ \, r_{2} = \frac{b \, sin(\alpha)}{1 + 4 \, sin(\frac{\alpha}{2}) + \sqrt{5 - cos(\alpha)}} \,\,\}\)
Z przyrównania : \(\displaystyle{ r_{1} = r_{2} \,\,}\) otrzymamy: \(\displaystyle{ sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2} \,\,\}\) --> \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{3} \,\,\}\) --> trójkąt równoboczny.