|
|
W danym okręgu punkt A jest środkiem łuku BC i dwie dowolne cięciwy AD, AE przecinają cięciwę BC w punktach B1 i C1. Wykaż, że wówczas na czworokącie B1C1ED można opisać okrąg.
|
|
Nie mam pojęcia jak się do tego zabrać
Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg
Mamy wykazac, ze \(\displaystyle{ \angle DEA + \angle DB_1C_1 = 180^o}\).
Zauwazmy, ze katy DEA i DBA sa oparte na tym samym luku, oraz, ze katy DB1C1 i CB1A maja te sama miare, wiec
\(\displaystyle{ \angle DEA + \angle DB_1C_1 = \angle DBA + \angle CB_1A}\)
Dalej zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \angle DBA = \angle DBC + \angle CBA}\), wiec
\(\displaystyle{ \angle DBC + \angle CBA + \angle CB_1A}\)
\(\displaystyle{ \angle DBC = \angle DAC}\) (katy wpisane oparte na tym samym luku), \(\displaystyle{ \angle CBA = \angle B_1CA}\) (poniewaz A jest srodkiem luku BC, to trojkat BCA jest rownoramienny), wiec
\(\displaystyle{ \angle DAC + \angle B_1CA + \angle CB_1A}\)
A to jest rowne 180 stopni, gdyz jest to suma katow wewnetrznych trojkata ACB1.
Zauwazmy, ze katy DEA i DBA sa oparte na tym samym luku, oraz, ze katy DB1C1 i CB1A maja te sama miare, wiec
\(\displaystyle{ \angle DEA + \angle DB_1C_1 = \angle DBA + \angle CB_1A}\)
Dalej zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \angle DBA = \angle DBC + \angle CBA}\), wiec
\(\displaystyle{ \angle DBC + \angle CBA + \angle CB_1A}\)
\(\displaystyle{ \angle DBC = \angle DAC}\) (katy wpisane oparte na tym samym luku), \(\displaystyle{ \angle CBA = \angle B_1CA}\) (poniewaz A jest srodkiem luku BC, to trojkat BCA jest rownoramienny), wiec
\(\displaystyle{ \angle DAC + \angle B_1CA + \angle CB_1A}\)
A to jest rowne 180 stopni, gdyz jest to suma katow wewnetrznych trojkata ACB1.
-
ziomalexio
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 27 lis 2009, o 18:56
- Płeć: Mężczyzna
Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg
Kolega chyba pomylił oznaczenia bo mi nic nie pasuje
-
krzysz
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 9 lis 2011, o 21:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: DOM
- Podziękował: 1 raz
Udowodnij, że na czworokącie można opisać okrąg
Wyżej rysunek.
Rysujemy linie z punktu \(\displaystyle{ D}\) do punktu \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\), a także z punktu \(\displaystyle{ E}\) do \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\).
Punkt \(\displaystyle{ A}\) jest środkiem łuku \(\displaystyle{ BC}\) więc miary długości łuków są równe \(\displaystyle{ |BA|=|AC|}\)
\(\displaystyle{ |\angle BDA|=|\angle ADC|=|\angle BEA|=|\angle AEC|= \alpha}\) - kąty wpisane oparte na tych samych łukach (lub łukach o tej samej długości) mają taką samą miarę
\(\displaystyle{ |\angle DCB|=|\angle DEB|=\gamma}\) - kąty wpisane oparte na tym samym łuku
\(\displaystyle{ |\angle EDC|=|\angle EBC|= \beta}\) - kąty wpisane oparte na tym samym łuku
\(\displaystyle{ \Delta DB_1C}\)
\(\displaystyle{ |\angle DB_1C_1|=180 ^{o}-( \alpha + \gamma)}\) - z sumy kątów w trójkącie
\(\displaystyle{ \Delta BC_1E}\)
\(\displaystyle{ |\angle B_1C_1E|=180 ^{o}-( \beta + \alpha)}\) - z sumy kątów w trójkącie
\(\displaystyle{ |\angle B_1DE|=\alpha + \beta}\)
\(\displaystyle{ |\angle DEC_1|=\gamma +\alpha}\)
Z twierdzenia o kątach przeciwległych w czworokącie wpisanym w okrąg wiemy, że ich suma wynosi \(\displaystyle{ 180 ^{o}}\) więc
\(\displaystyle{ 180 ^{o}=|\angle DEC_1|+|\angle DB_1C_1|=(\gamma+\alpha)+180 ^{o}-(\gamma+\alpha)=180 ^{o}}\)
\(\displaystyle{ 180 ^{o}=|\angle B_1DE|+|\angle B_1C_1E|=(\alpha+\beta)+180 ^{o}-(\alpha+\beta)=180 ^{o}}\)