Zadanka z konkursu Gimnazjalnego

[Dargi]

Siema ziomki chcialbym abyscie rozwaizali te zadanka poniewaz chcialbym wiedziec jak to zrobic i sie przekonac czy je dobrze wykonalem.
Zalezy mi na czasie prosze o dokladnie rozwiazania. Tylko niech nikt sobie nie pomysli ze ja w cudzyslowie "zuram" o odpowiedzi. Po prostu chcialbym sie przekonac jak to mozna rozwaizac i jakie sa wynik. Dobrze nie bede owijal w bawelne i zamieszcze te zadanka oto one:

1. Okrąg c o środku O i promieniu 2 zawiera trzy mniejsze okręgi styczne wzajemnie i styczne do c. Dwa z tych okręgów przechodzą przez punkt O. Jaki jest promień najmniejszego okręgu?

2. W kwadracie o boku a ścięto naroża w taki sposób, że powstał ośmiokąt o równych bokach. Oblicz pole tego ośmiokąta.

3. Wykaż, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nie jest podzielna przez 3, natomiast suma kwadratów pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5.

4. Znajdź liczbę trzycyfrową, która jest 7 razy większa od liczby powstałej z niej przez wykreślenie środkowej cyfry.

5. W pewnej klasie każdy uczeń zna co najmniej jeden z języków obcych: angielski, francuski lub niemiecki. Wiadomo, że:
- znających język francuski jest 15 uczniów;
- znających język angielski jest 14 uczniów;
- znających język angielski i francuski jest 8 uczniów;
- znających język angielski i niemiecki jest 7 uczniów, w tym 2 uczniów nie zna francuskiego;
- 8 osób znających język francuski nie zna języka niemieckiego;
- 8 osób znających język niemiecki nie zna języka angielskiego.
Ile osób jest w tej klasie? Ilu uczniów zna język niemiecki?


i

[Amon-Ra]

Widzisz, jak można?

Ad. 2

Ośmiokąt o równych bokach, czyli ośmiokąt foremny to taka figura, którą podzielić można na osiem przystających trójkątów równoramiennych o kącie między ramionami równym \(\displaystyle{ \frac{1}{8}360^{\circ}=45^{\circ}}\). Rysunek:



Jak widać, zachodzą następujące równości:

\(\displaystyle{ sin\phi=\frac{b}{\frac{a}{2}}=\frac{2b}{a}}\)
po przekształceniach \(\displaystyle{ b=\frac{a}{2}sin\phi}\)

\(\displaystyle{ cos\phi=\frac{h}{\frac{a}{2}}=\frac{2h}{a}}\)
oraz \(\displaystyle{ h=\frac{a}{2}cos\phi}\)

Stąd pole niebieskiego trójkąta równe jest \(\displaystyle{ P_{\Delta}=\frac{1}{2}(b+b)h=bh}\)
Pole ośmiokąta wynosi zatem:
\(\displaystyle{ 8\cdot P_{\Delta}=8bh=8\cdot \frac{a}{2}sin\phi \frac{a}{2}cos\phi=2a^{2}sin\phi cos\phi =2a^{2}sin22,5^{\circ} cos22,5^{\circ}}\)

Ad. 3

Pięć kolejnych liczb naturalnych zapisać możesz:
\(\displaystyle{ n, n+1, n+2, n+3, n+4}\).

Suma kwadratów trzech kolejnych liczba to:
\(\displaystyle{ n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}=...=3n^{2}+6n+5}\)

Wyrażenie na końcu nie może być zapisane w postaci iloczynu \(\displaystyle{ 3r}\), gdyż jedynym wspólnym dzielnikiem liczb 3, 6 i 5 jest jedynka. Inaczej w przypadku sumy pięciu kolejnych kwadratów:
\(\displaystyle{ n^{2}+(n+1)^{2}+(n+2)^{2}+(n+3)^{2}+(n+4)^{2}=...=5n^{2}+20n+30=5(n^{2}+4n+6)}\)

Zapisaliśmy sumę kwadratów pięciu kolejnych liczb naturalnych jako iloczyn \(\displaystyle{ 5r}\), z czego wniosek, że i całe wyrażenie jest podzielne przez 5. Koniec dowodu.

Na razie tyle. Jeżeli gdzieś się pomyliłem, proszę innych o weryfikację i poprawienie mnie.

[juzef]

Ośmiokąt o równych bokach, czyli ośmiokąt foremny

Czyli romb jest czworkokątem foremnym?

[Amon-Ra]

Czyli romb jest czworkokątem foremnym?

A czy romb ma osiem boków? Można się przecieć domyslić, że "o równych bokach i kątach" .

[juzef]

Może inaczej, zrobiłeś to źle. Te ośmiokąty nie mają być foremne. Gdyby miały być, to zapewne autor zadania napisałby dodatkowy warunek o kątach.
Chciałem tylko zwrócić Twoją uwagę na fakt, że nie każdy ośmiokąt o równych bokach jest foremny.

4. 105

[Dargi]

a ja myslalem ze ten osmiakat ma wygladac tak
... 1ty.th.jpg
i co wy na to????

[Amon-Ra]

Jeżeli nie jest napisane, że wielokąt nie jest foremny, może taki być. Zadanie (a przynajmniej jedna z ewentualności) jest rozwiązane poprawnie.

Chciałem tylko zwrócić Twoją uwagę na fakt, że nie każdy ośmiokąt o równych bokach jest foremny.

Wierz mi, że o tym wiem. Równie dobrze poprawne może być rozwiązanie założyciela wątku, albo czteroramienna gwiazda o równej długości odcinków. Właśnie z powodu wieloznaczności sformułowania, wydaje mi się, że nie ma jednej i tylko jednej odpowiedzi na pytanie.

[Dargi]

A jak mozna z tego rysunku to wyliczyc??

[ Dodano: Pią Lis 18, 2005 4:06 pm ]
Powtarzam pytanie a jak mozna to z tego rysunku wyliczyc??
... 1ty.th.jpg

[Amon-Ra]

Zakładając, że przez a oznaczymy długość boku kwadratu, przez b podstawę jednego z przystających trójkatów równoramiennych, przez c odcinki po bokach b (czyli odcinki łączące wierzchołek kwadratu z wierzchołkiem podstawy trójkąta) a przez h wysokość trójkąta, to pole całej figury będzie ośmiokrotnie większe od pola pojedynczego trójkąta. Z właściwości trójkątów o kątach 90°, 45°, 45° (małe trójkąty w narożnikach kwadratu) obliczasz c (zakładając foremność ośmiokąta porównujesz długość przeciwprostokątnej i odcinka b; powinno wyjść \(\displaystyle{ c=\frac{b\sqrt{2}}{2}}\)). Długość odcinka b uzyskujesz, odejmując od a dwukrotność c (powinno wyjść \(\displaystyle{ b=a(\sqrt{2}-1)}\).
Jako, że odcinek h jest dwusieczną kąta między ramionami trójkątów, dzieli go dokładnie na połowy (notabene równe ψ=22,5°). Tangens tego kąta będzie wynosił \(\displaystyle{ tg\psi =\frac{b}{2h}=\frac{a(\sqrt{2}-1)}{2h}}\), skąd obliczymy wysokość \(\displaystyle{ h=\frac{a(\sqrt{2}-1)}{2tg\psi}}\). W końcu pole trójkąta, równe połowie iloczynu długości jego podstawy i wysokości wyniesie \(\displaystyle{ P_{\Delta}=\frac{bh}{2}=\frac{a^{2}(3-2\sqrt{2})}{4tg\psi}}\), co w końcu da nam gotowy wzór na pole całego ośmiokąta równe \(\displaystyle{ P_{c}=\frac{2a^{2}(3-2\sqrt{2})}{tg\psi}}\). Podstawiając za Ψ i a konkretne wartości, otrzymasz żądany wynik.

[ap]

Pole ośmiokąta wynosi zatem:
\(\displaystyle{ 8\cdot P_{\Delta}=8bh=8\cdot \frac{a}{2}sin\phi \cdot \frac{a}{2}cos\phi=4a^{2}sin\phi cos\phi =4a^{2}sin22,5^{\circ} cos22,5^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ =2\cdot a^2\sin\(2\cdot 22,5^{\circ}\)=2a^2\sin 45^{\circ}=2a^2\frac{\sqrt{2}}{2}=a^2\sqrt{2}\ >\ a^2}\) Wooow!

Tam jest błąd. Zgubiłeś jedno dzielenie przez dwa.

[Amon-Ra]

A, jasne. Głupi błąd. Już poprawiam .