pole prostokąta maturalne

[kornelka90]

Wykaż, że pole prostokąta, którego przekątna tworzy z bokiem tego prostokąta kąt o mierze 30stopni, jest równe polu trójkąta równobocznego zbudowanego na przekątnej tego prostokąta.

[Justka]

Załóżmy, że przekątna jest równa \(\displaystyle{ a}\), zatem boki tego prostokata to \(\displaystyle{ cos30^0 a sin30^0 a}\). Więc pole:
\(\displaystyle{ P=cos30^0\cdot sin30^0 a^2=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\)
I widzimy już, że jest ono równe polu trójkąta o boku a \(\displaystyle{ P_{\Delta}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=P}\), co mieliśmy wykazać.

[Elvis]

Można też zauważyć, że jeśli prostokąt przetniemy wzdłuż przekątnej i odpowiednio poprzesuwamy kawałki, otrzymamy trójkąt równoboczny.