Dowód podziału okręgu na 3 łuki równej długości

Mateusz Kempa · Post autor: **Mateusz Kempa** » 12 lis 2005, o 19:19

Witam,

Proszę o rozwiązanie takiego zadania:

Uczeń miał za zadanie dokonać konstrukcyjnego podziału danego okręgu na 3 łuki równej długości. Zadanie wykonał następująco: "Obieram na okręgu dowolny punkt A. Przez ten punkt i przez środek S tego okręgu prowadzę prostą k, która przetnie okrąg w punkcie T. Konstruuje symetralną odcinka ST, która przecina okrąg w punktach B i C. Punkty A,B,C to szukane punkty podziału okręgu. Udowodnij, czy konstrukcja przedstawiona przez ucznia jest poprawna.

Z góry dziękuję !

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 12 lis 2005, o 19:48

Zauważ, że trójkąt \(\displaystyle{ \Delta ABC}\) jest równoboczny.

Dla dowodu tego faktu np. wyraź sobie pole trójkąta na dwa sposoby.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

Mateusz Kempa · Post autor: **Mateusz Kempa** » 12 lis 2005, o 19:58

Tak, po zrobieniu rysunku zauważyłem to, ale chyba musze to wyjaśnić jakoś rachunkowo - nieprawda ?

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 12 lis 2005, o 20:04

Tak, zrób np. tak, jak napisałem.

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Mateusz Kempa · Post autor: **Mateusz Kempa** » 12 lis 2005, o 20:07

Sorry, ale jestem troche tempy... Na jakie dwa sposoby ?

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 12 lis 2005, o 20:18

Hmmm... Dwa boki rozważanego trójkąta są równe, to jest jasne. Niech x - długość 'brakującego' boku, wtedy:

\(\displaystyle{ s=\frac{1}{2}xh}\), a z drugiej strony

\(\displaystyle{ s=\frac{a^2x}{4R} = \frac{a^2x}{4\cdot \frac{2}{3}h}}\), bo pole trójkąta o bokach a,b,c i R-promień okręgu opisanego to \(\displaystyle{ s=\frac{abc}{4R}}\).

Nie mam 'na szybko' lepszego pomysłu na dowód:) Moja geometria pozostawia wiele do życzenia =)

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki