Stosunki w okręgu

[pelas_91]

W okręgu o promieniu 1 poprowadzono średnicę i cięciwę AB, która przecina średnicę w punkcie C pod kątem 45*. Wykaż, że \(\displaystyle{ ( \left|AC \right| )^{2} + ( \left|BC \right| )^{2}}\) jest wielkością stałą. Wyznacz tę wielkość.

[robin5hood]

Odbijamy symetrycznie punkt \(\displaystyle{ B}\) względem średnicy, powstaje punkt \(\displaystyle{ B'}\). Zachodzi oczywiście \(\displaystyle{ |BC|=|CB'|}\). Kąt \(\displaystyle{ \angle ACB'=90^{\circ}}\), zatem wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ |AC|^2+|B'C|^2}\) jest kwadratem długości \(\displaystyle{ |AB'|}\) (z tw. Pitagorasa), więc wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ |AB'|=\mbox{const.}}\)
Kąt \(\displaystyle{ \angle ABB'}\) ma miarę \(\displaystyle{ 45^{\circ}}\).
Z tw. sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ _{\Delta}ABB'}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{|AB'|}{\sin\angle (ABB')}=2R}\), czyli:

\(\displaystyle{ \frac{|AB'|}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=2}\)

\(\displaystyle{ |AB'|=\sqrt{2}=\mbox{const.}}\)

A wartość \(\displaystyle{ |AC|^2+|BC|^2}\) jest równa 2.