Podobieństwo

[AsFalcon]

W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość 2a, a wysokość do tej podstawy h. w trójkąt wpisano okrąg, a następnie poprowadzono styczną do okręgu, równoległą do podstawy trójkąta. Oblicz długość promienia okręgu i długość odcinka stycznej zawartego w trójkącie.

[robin5hood]

Niech b oznacza dł. ramienia trójkąta, gdzie b>0

Z twierdzenia Pitagorasa:

\(\displaystyle{ a^{2}+h^{2}=b^{2}}\)

Wiemy, że b>0, zatem:

\(\displaystyle{ b=\sqrt{a^{2}+h^{2}}}\)

Niech r oznacza dł. promienia okręgu wpisanego w trójkąt, gdzie r>0

Ze wzoru na dł. promienia okręgu wpisanego w trójkąt mamy:

\(\displaystyle{ r=\frac{2ah}{2a+2\sqrt{a^{2}+h^{2}}}=\frac{ah}{a+\sqrt{a^{2}+h^{2}}}=\frac{a(\sqrt{a^{2}+h^{2}}-a)}{h}}\)

Niech będzie to trójkąt ABC.

D -punkt przecięcia się wysokości trójkąta z bokiem AB

K -punkt styczności

|CK|=|CD|-|KD|

|CK|=h-2r

\(\displaystyle{ |CK|=\frac{h^{2}-2a(\sqrt{a^{2}+h^{2}}-a)}{h}}\)

Niech |EF| to dł. odcinka stycznej zawartego w trójkącie.

Z twierdzenia Talesa:

\(\displaystyle{ \frac{|CD|}{|CK|}=\frac{|AD|}{|EK|}}\)

\(\displaystyle{ \frac{h^{2}}{h^{2}-2a(\sqrt{a^{2}+h^{2}}-a)}=\frac{a}{|EK|}}\)

\(\displaystyle{ |EK|=\frac{a[h^{2}-2a(\sqrt{a^{2}+h^{2}}-a)]}{h^{2}}}\)

\(\displaystyle{ |EF|=2|EK|}\)

\(\displaystyle{ |EF|=\frac{2a[h^{2}-2a(\sqrt{a^{2}+h^{2}}-a)]}{h^{2}}}\)

[AsFalcon]

a z kąd jest ten wzór na dł. promienia?? można go jakoś policzyć??

[robin5hood]

to z tego wzoru
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}(a+b+c)r}\)

[AsFalcon]

:O nie mam pojęcia jak to zrobić, mógłbyś to rozwinąć??

[robin5hood]

z czym nie masz pojęcia?
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{2} 2ah}\)
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}(2a+ \sqrt{a^2+h^2} +\sqrt{a^2+h^2} )r}\)

[AsFalcon]

robin5hood, masz gg?? zagadaj: 1001238