Trapez - odcinek łączący środki przekątnych

[luky88]

Witam.

Uzasadnij, że odcinek łączący środki przekątnych dowolnego trapezu jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa połowie różnicy długości podstaw.

A więc to ze odcinek ten jest rownolegly bardzo latwo wykazac... chociazby opuszczajac wysokos z krotszej podstawy na dluzsza, otrzymujemy trojkat z wysokosci, przekatnej oraz kawalka podstawy... patrzac na przeciwprostokatna jak na wektor otrzymujemy ze srodek przeciwprostokatnej , a wiec i nasz szukany odcinek znajduje sie w polowie wysokosci trapezu, czyli jest zawarty w odcinku laczacym srodki ramion ktorego dlugosc wynosi:\(\displaystyle{ x = \frac{a+b}{2}}\)
I teraz nie moge wpasc na to jak z tej zaleznosci otrzymac ze nasz odcinek \(\displaystyle{ y = \frac{a-b}{2}}\),
jakby ktos dal jakas wskazowke bylbym wdzieczny.

Pozdrawiam.

[xiikzodz]

Siemka.

Niech, patrzac od prawej strony na trapez stojacy na dluzszej podstawie o dlugosci \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) beda srodkami kolejno:
lewego boku
jednej z przekatnych
drugiej przekatnej
drugiego boku

Prosta przechodzaca przez \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) jest rownolegla do podstawy dolnej (Tales). Tak samo dla \(\displaystyle{ B,D}\) i gornej podstawy.
Prosta przechodzaca przez \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest rownolegla do gornej podstawy, tak samo dla \(\displaystyle{ C,D}\) i dolnej podstawy.

Stad wszystkie punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) leza na jednej prostej i jest to prosta rownolegla do podstaw.

Dlugosc odcinka \(\displaystyle{ AC}\) to polowa dlugosci dolnej podstawy, znowu Tales, tak samo dlugosc odcinka \(\displaystyle{ BD}\). Z drugiej strony dlugosc \(\displaystyle{ AD}\) to srednia arytmetyczna dlugosci podstaw (tez Tales). Stad

\(\displaystyle{ |BC|=|AC|+|BD| - |CD|=\frac a2+\frac a2-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}}\)

[Elvis]

ABCD - trapez o krótszej podstawie CD
F, G - środki odpowiednio AC i BD
E, H - przecięcie FG odpowiednio z AD i BC
Jak zauważyłeś, \(\displaystyle{ EH=\frac{AB+CD}{2}}\). Trójkąty ACD i AFE oraz trójkąty BCD i BHG są podobne w skali 1:2, więc \(\displaystyle{ EF=GH=\frac{1}{2}CD}\) oraz \(\displaystyle{ FG=EH-EF-GH=\frac{AB-CD}{2}}\).

[luky88]

wielkie dzieki za pomoc
w nagrode po +
good work

[matgeog]

Witam, mógłby to ktoś wyjaśnić za pomocą wektorów. Zgóry dzięki

[kolek29]

Witam potrzebowałbym rysunek do tego zadania

[Zahion]

Nie wiem w czym problem, natomiast jeśli naprawdę taki występuje, to już chyba kłopotem nie jest wpisanie w google "trapez odcinek łączący środki przekątnych" i wciśnięcie grafika, tam już wszystko jest.