Stosunki w równoległoboku

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 6 paź 2008, o 15:10

Prosta l przecina boki AB i AD równoległoboku ABCD odpowiednio w punktach E i F, a przekątną AC w punkcie G. Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{|AB|}{|AE|} + \frac{|AD|}{|AF|} = \frac{|AC|}{|AG|}}\)
Nie mam żadnego pomysłu z czego skorzystać...

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 6 paź 2008, o 15:49

wskazówka
przedłużyć tą prostą i jeden bok równoległoboku aby powstał trójkąt, wtedy z podobieństwa trójkątów

pelas_91 · Post autor: **pelas_91** » 11 paź 2008, o 23:37

robin5hood pisze:wskazówka
przedłużyć tą prostą i jeden bok równoległoboku aby powstał trójkąt, wtedy z podobieństwa trójkątów

nadal tego nie widze...

patry93 · Post autor: **patry93** » 19 paź 2008, o 21:10

Odkopuję troszkę, ale zaciekawiło mnie to zadanie i niestety również nie potrafię go zrobić... :/
Oprócz znalezienia 8 podobnych trójkątów nic nie znalazłem co by pasowało do rozwiązania... Pewnie znów to podobieństwo, które jest tutaj istotne to "najbardziej rzucające się w oczy" podobieństwo, a ja oczywiście go nie widzę...
Prosiłbym o napisanie o które trójkąty chodzi. Z góry dziękuję.

limes123 · Post autor: **limes123** » 20 paź 2008, o 22:48

Poprowadzmy przez punkt D prosta rownolegla do EF i oznaczmy jej punkt przeciecia z AC przez M. Wtedy \(\displaystyle{ \frac{AF}{AD}=\frac{AG}{AM}}\). Teraz poprowadzmy prosta rownolegla do EF przez B i jej punkt przeciecia z AC oznaczmy przez N -> \(\displaystyle{ \frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AN}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{AD}{AF}+\frac{AB}{AE}=\frac{AM}{AG}+\frac{AN}{AG}}\) i teraz wystarczy tylko zauwazyc, ze AM+AN=AC.