Przesunięcie o wektor

[alimak]

Obrazem koła K o środku O=(0,0) i promieniu 4 w przesunięciu o \(\displaystyle{ \vec{V}}\) jest koło L . Oblicz pole części wspólnej kół K i L jeżeli \(\displaystyle{ \vec{V}=(4,0)}\)

[JankoS]

Obrazem koła K o środku O=(0,0) i promieniu 4 w przesunięciu o \(\displaystyle{ \vec{V}}\) jest koło L . Oblicz pole części wspólnej kół K i L jeżeli \(\displaystyle{ \vec{V}=(4,0)}\)

Łatwo pokazać, że pole to jest równe dwukrotnemu polu zaznaczonej figury (odcinka kołowego).
Pole\(\displaystyle{ P_o}\) tego odcinka jest różnicą pola \(\displaystyle{ P_w}\)wycinka opartego na łuku A0B i pola trójkąta \(\displaystyle{ P_{\Delta ABS}.}\)

W trójkącie SCA przyprostokątna CS = połowie przeciwprostokątnej, więc kąt SAC ma 30 stopni,
i dalej kąt ASB ma miarę \(\displaystyle{ 120 ^{\circ}=\frac{1}{3} 360 ^{\circ}.}\)
\(\displaystyle{ P_o=P_w-P_t=\frac{\pi 4^2}{3}-\frac{1}{2} 4 4 sin120 ^{\circ}=\frac{16\pi }{3}-4 \sqrt{3}.}\)
Otrzymany wynik mnożymy przez dwa.