stosunek pól

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
marek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 696
Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: marki
Podziękował: 165 razy
Pomógł: 20 razy

stosunek pól

Post autor: marek12 »

W figurze na rysunku stosunek promienia wycinka koła do promienia koła wpisanego w niego wynosi 1:3. Jaki jest stosunek tych pól?
QuusAmo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 168
Rejestracja: 13 cze 2006, o 19:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dąbrova G.
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 65 razy

stosunek pól

Post autor: QuusAmo »

Przeróbmy trochę rysunek

Niech \(\displaystyle{ |OC|=|OB|=R}\), wtedy \(\displaystyle{ |AC|=3R}\)
Zatem \(\displaystyle{ |AO|=2R}\)
Z tego obliczamy \(\displaystyle{ \sin OAB = \frac{R}{2R}=\frac{1}{2}}\)
Stąd \(\displaystyle{ | OAB|=30^{\circ}}\) (*)
Zatem wycinek koła ma rozwartość \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\)
Pole wycinka to \(\displaystyle{ \frac{1}{6}\cdot \Pi (3R)^2=\frac{3}{2}R^2\Pi}\)
Pole koła wpisanego to \(\displaystyle{ \Pi R^2}\)
Zatem stosunek pola wycinka do pola koła wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)

(*) gdyby miara kąta wynosiła \(\displaystyle{ 150^{\circ}}\) to rozwartość wycinka wynosiłaby \(\displaystyle{ 300^{\circ}}\), a wtedy ciężko byłoby wpisać w niego koło.
ODPOWIEDZ