Czworokąt opisany na okręgu.

[Blaster]

W trapez wpisano okrąg. Punkt styczności okręgu z dłuższą podstawą trapezu dzieli tę podstawę na odcinki długości 2,5dm i 4dm. Wysokość trapezu ma długość 4dm. Oblicz obwód tego trapezu.

[QuusAmo]

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:

Zauważmy że wysokość trapezu jest równa co do długości średnicy okręgu wpisanego w trapez
Mamy \(\displaystyle{ |AE|=2,5}\) \(\displaystyle{ |EB|=4}\)
Z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ |EB|=|BF|}\), \(\displaystyle{ |AE|=|AG|}\). \(\displaystyle{ |GC|=|CH|}\), \(\displaystyle{ |DF|=|HD|}\)
Niech \(\displaystyle{ |GC|=|CH|=|JE|=x}\), \(\displaystyle{ |DF|=|HD|=|EI|=y}\)
Wiemy ponadto, że \(\displaystyle{ |CJ|=|DI|=4}\)
Wtedy \(\displaystyle{ |AJ|=2,5-x}\),\(\displaystyle{ |AC|=2,5+x}\), \(\displaystyle{ |BI|=4-y}\), \(\displaystyle{ |BD|=4+y}\)
Z tw. Pitagorasa otrzymujemy
\(\displaystyle{ |AJ|^2+|JC|^2=|AC|^2}\)
\(\displaystyle{ (2,5-x)^2+4^2=(2,5+x)^2}\)
\(\displaystyle{ 6,25-5x+x^2+16=6,25+5x+x^2}\)
\(\displaystyle{ 10x=16 x=1,6}\)
Podobnie \(\displaystyle{ |BI|^2+|ID|^2=|DB|^2}\)
\(\displaystyle{ 16y=16 y=1}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ x=1,6}\) oraz \(\displaystyle{ y=1}\) zatem otrzymujemy długości boków
\(\displaystyle{ |AB|=6,5}\)
\(\displaystyle{ |BD|=5}\)
\(\displaystyle{ |CD|=2,6}\)
\(\displaystyle{ |CA|=4,1}\)
Więc obwód wynosi 18,2 dm