pole trójkąta w sześciokacie

[marek12]

Na rysunku przedstawiony jwst sześciokąt foremny o boku \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) . CZworokąty XABC i QPXR są kwadratami. Jakie jest pole zacieniowanego trójkąta CPS?

[Anathemed]

Wskazówka: oznaczmy przez XH wysokość trójkąta RXA. Wtedy trójkąt XHA jest połową trójkąta równobocznego o wysokości \(\displaystyle{ HA = \frac {\sqrt{3}}{2}}\). Stąd obliczamy: AX = 1, a to oznacza że CX = PC = PX = 1.
Oznaczmy przez GX wysokość trójkąta XCP. Jest ona równa oczywiście \(\displaystyle{ GX = \frac {\sqrt{3}}{2}}\) Stąd obliczamy długość odcinka \(\displaystyle{ HG = 0,5 + {\sqrt{3}}{2}}\) jeżeli przez T oznaczymy punkt przecięcia prostej HG z drugim bokiem sześciokąta, to \(\displaystyle{ HT = 2 \sqrt {3}}\). Stąd obliczamy długość odcinka GT, który jest równy wysokości naszego szukanego trójkąta przy podstawie równej PC = 1

Ps: to zadanie było kiedyś na kangurze

[marek12]

Wtedy trójkąt XHA jest połową trójkąta równobocznego o wysokości \(\displaystyle{ HA = \frac {\sqrt{3}}{2}}\).

nie rozumiem tego zdania, i nie wiem który to trójkąt o wysokości HA

[Anathemed]

Chodzi o trójkąt X'XA

[marek12]

Dlaczego \(\displaystyle{ HT=2 \sqrt{3}}\)?

[Anathemed]

Dlaczego \(\displaystyle{ HT=2 \sqrt{3}}\)?

Oj sorki, walnąłem się w obliczeniach, powinno być \(\displaystyle{ HT = 3}\)
Dlaczego?

Jeżeli podzielimy sobie nasz sześciokąt tak jak na rysunku, to HT będzie sumą dwóch wysokości trójkątów równobocznych o bokach długości \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)

[marek12]

może ktoś to wyliczyć do końca? prosze z góry dzieki

[Anathemed]

Pole trójkąta wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}PC * GT}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ PC = 1}\)
\(\displaystyle{ GT = HT - HG = HT - HX - GX = 3 - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

Czyli pole trójkąta wynosi: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(3 - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})}\)

Mam nadzieję, że nie pomyliłem się nigdzie w rachunkach...