trójkat prostokątny

[olussskaaa]

Oblicz sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego, w którym jedna z przyprostokątnych jest średnią arytmetyczną drugiej przyprostokątnej i przeciwprostokątnej,

[lukasz1804]

Oznaczmy: \(\displaystyle{ a,b}\)- przyprostokątne, \(\displaystyle{ c}\)- przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ 2b=a+c}\). Z twierdzenia Pitagorasa mamy ponadto \(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2}\). Stąd \(\displaystyle{ 4c^2=4a^2+4b^2=4a^2+(2b)^2=4a^2+(a+c)^2=5a^2+2ac+c^2}\), więc \(\displaystyle{ 5a^2+2ac-3c^2=0}\). Dzieląc teraz obie strony przez \(\displaystyle{ c^2}\) (oczywiście dzielenie jest wykonalne, bo \(\displaystyle{ c>0}\) jako długość odcinka) otrzymamy \(\displaystyle{ 5(\frac{a}{c})^2+2\frac{a}{c}-3=0}\).
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\) te z kątów ostrych trójkąta, dla których jest \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{a}{c}, \sin\beta=\frac{b}{c}}\).
Wtedy mamy z powyzszego \(\displaystyle{ 0=5\sin^2\alpha+2\sin\alpha-3=5\sin^2\alpha+5\sin\alpha-3\sin\alpha-3=5\sin\alpha(\sin\alpha+1)-3(\sin\alpha+1)=(\sin\alpha+1)(5\sin\alpha-3)}\). Ponieważ dla kątów w trójkącie nie może być \(\displaystyle{ \sin\alpha=-1}\), to mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{3}{5}}\).
Powróćmy teraz do danej równości \(\displaystyle{ 2b=a+c}\) i podzielmy ją stronami przez \(\displaystyle{ c}\). Dostaniemy wówczas równość \(\displaystyle{ 2\frac{b}{c}=\frac{a}{c}+1}\), co przy przyjętych oznaczeniach kątów jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ 2\sin\beta=\sin\alpha+1}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ 2\sin\beta=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ \sin\beta=\frac{4}{5}}\).
Pozdrawiam

[exupery]

a,b,c- dlugości boków trójkąta
\(\displaystyle{ \frac{b+c}{2}=a \\ (\frac{b+c}{2})^2 + b^2 = c^2 \\ b= \frac{3}{5}c \\ a= \frac{4}{5}c}\)
dalej to już sobie dasz rade