oblicz pole trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest dwukrotnie większy od drugiego kata oraz
a) obwód tego trójkąta jest równy \(\displaystyle{ 6+2 \sqrt{3}}\)
b) różnica długości przeciwprostokątnej i krótszej przyprostokątnej jest równa \(\displaystyle{ 3+ \sqrt{3}}\)
Krótki kurs LaTeX-a - zapisywanie wyrażeń matematycznych
frej
pole trojkata prostokatnego
pole trojkata prostokatnego
Ostatnio zmieniony 28 wrz 2008, o 12:23 przez dusiek91, łącznie zmieniany 1 raz.
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
pole trojkata prostokatnego
Jest to oczywiście trójkąt prostokątny o katach ostrych 30 i 60 stopni.
Wykorzystując f. trygonometryczne możemy obliczyć długości boków tego trójkąta. Zakładając, że przyprostokątna przy kącie 60 stopni ma długośc \(\displaystyle{ a}\) mamy, że druga przyprostokątna jest równa \(\displaystyle{ b=\tg 60^0 a =a\sqrt{3}}\) oraz przeciwprostokątna \(\displaystyle{ c=\frac{a}{\cos 60^0}=2a}\)
Zatem:
a)
\(\displaystyle{ O=a+b+c \iff a+2a+a\sqrt{3}=6+2\sqrt{3} \iff a=2 \\
P_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a a\sqrt{3} \iff P_{\Delta}=2\sqrt{3}}\)
b)
\(\displaystyle{ c-a=3+\sqrt{3} \iff a=3+\sqrt{3} \\
P_{\Delta}=\frac{1}{2}a^2\sqrt{3} \iff P_{\Delta}=\frac{1}{2}(3+\sqrt{3})^2\sqrt{3}}\)
Wykorzystując f. trygonometryczne możemy obliczyć długości boków tego trójkąta. Zakładając, że przyprostokątna przy kącie 60 stopni ma długośc \(\displaystyle{ a}\) mamy, że druga przyprostokątna jest równa \(\displaystyle{ b=\tg 60^0 a =a\sqrt{3}}\) oraz przeciwprostokątna \(\displaystyle{ c=\frac{a}{\cos 60^0}=2a}\)
Zatem:
a)
\(\displaystyle{ O=a+b+c \iff a+2a+a\sqrt{3}=6+2\sqrt{3} \iff a=2 \\
P_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a a\sqrt{3} \iff P_{\Delta}=2\sqrt{3}}\)
b)
\(\displaystyle{ c-a=3+\sqrt{3} \iff a=3+\sqrt{3} \\
P_{\Delta}=\frac{1}{2}a^2\sqrt{3} \iff P_{\Delta}=\frac{1}{2}(3+\sqrt{3})^2\sqrt{3}}\)