Trójkąt i okrąg opisany

[qwass]

Dwa kąty w trójkącie mają miarę "x" i "y". Środkowa poprowadzona z wierzchołka 3 kąta ma dłg. "s". Znajdź dłg. promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

[anibod]

Niech a,b,c - boki trójkąta, x,y,z- kąty trójkąta, s- długość środkowej
Niech a - bok leżący na przeciwko kąta x, b-bok trójkąta leżący na przeciwko kąta y, c-bok leżący na przeciwko kąta z na który opuszczona jest środkowa,
kąt z: \(\displaystyle{ z= 180^{0}-(x+y)}\)
Z tw. sinusow mamy: \(\displaystyle{ \frac{a}{ \sin{x}}=\frac{b}{ \sin{y}}=\frac{c}{ \sin{z}}=2R}\)
\(\displaystyle{ \sin{z}= \sin(x+y)}\) - ze wzorów redukcyjnych
Zatem \(\displaystyle{ \frac{a}{ \sin{x} }=\frac{c}{\sin(x+y)} a=c \frac{\sin{x}}{\sin(x+y)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{ \sin{y} }=\frac{c}{\sin(x+y)} b=c \frac{\sin{y}}{\sin(x+y)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{c}{\sin(x+y)}=2R}\)
Korzystając z następującego wzoru na środkową opuszczoną na bok c (tablice mat.) mamy;
\(\displaystyle{ s=\frac {1}{2} \sqrt{2b^{2}-2a^{2}-c^{2}} 2s^{2}=b^{2}+a^{2}- \frac{c^{2}}{2}}\)
Podstawiając za a,b odpowiednie wartości wyżej wyznaczone otrzymujesz
\(\displaystyle{ 2s^{2}=c^{2} \frac{\sin^{2}{x}}{\sin^{2}(x+y)} +c^{2} \frac{\sin^{2}{y}}{\sin^{2}(x+y)} - \frac {c^{2}}{2} 2s^{2}=c^{2} \frac{2\sin^{2}{x}+2\sin^{2}{y}-\sin^{2}(x+y)}{2\sin^{2}(x+y)}}\)
Stąd \(\displaystyle{ 2s^{2}=4R^{2}\sin^{2}(x+y) \frac{2\sin^{2}{x}+2\sin^{2}{y}-\sin^{2}(x+y)}{2\sin^{2}(x+y)}}\)
\(\displaystyle{ 2s^{2}=2R^{2}(2\sin^{2}{x}+2\sin^{2}{y}-\sin^{2}(x+y)) R^{2}= \frac {s^{2}}{2\sin^{2}{x}+2\sin^{2}{y}-\sin^{2}(x+y)}}\)

Zatem \(\displaystyle{ R= \frac {s}{\sqrt{2\sin^{2}{x}+2\sin^{2}{y}-\sin^{2}(x+y)}}}\)

[qwass]

Korzystając z następującego wzoru na środkową opuszczoną na bok c (tablice mat.) mamy;
\(\displaystyle{ s=\frac {1}{2} \sqrt{2b^{2}-2a^{2}-c^{2}} 2s^{2}=b^{2}+a^{2}- \frac{c^{2}}{2}}\)

To ma być -2a^2 czy +2a^2 ?

[chris139]

Ma być +2a^2. Jeszcze dodam, że ten wzór można udowodnić z tw. cosinusów.