Zadania z czworokątami (wykazywanie i udowadnianie)

[Homiliusz]

Mam problem z poniższymi zadaniami, bardzo proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie, ponieważ będę miał niedługo sprawdzian z czworokątów:

Zadanie 1:
Dowolny punkt M leżący wewnątrz równoległoboku ABCD połączono z jego wierzchołkami. Wykaż, ze suma pól trójkątów ABM i CMB jest równa sumie pól trójkątów AMD i BMC.

Zadanie 2:
Odcinek łączący środki przeciwległych boków czworokąta wypukłego dzieli ten czworokąt na dwie figury o równych polach. Udowodnij, że czworokąt ten jest trapezem.

Zadanie 3:
Udowodnij, że punkty przecięcia się czterech dwusiecznych kątów równoległoboku niebędącego rombem są wierzchołkami prostokąta.

Zadanie 4:
Suma długości ramion trapezu równoramiennego stanowi \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) sumy długości jego podstawy, a stosunek długości podstaw jest równy 7:5. Wyznacz miary kątów tego trapezu

Zadanie 5:
Na bokach n-kąta foremnego zbudowano na zewnątrz kwadraty. Wiadomo, że drugi 2n-kąt, którego wierzchołkami są wierzchołki tych kwadratów niebędące wierzchołkami danego n-kąta, jest foremny. Udowodnij, że n=6.

Zadanie 6:
W czworokącie ABCD odcinki łączące środki przeciwległych boków są równej długości. Ponadto AC=2, BD=1. Oblicz pole tego czworokąta.

[Justka]

Ad.1
Suma trójkątów ABM i CMD jest równa:
\(\displaystyle{ P_{\Delta_{ABM}}=\frac{1}{2}ax \\
P_{\Delta_{CMD}}=\frac{1}{2}ay}\)
gdzie \(\displaystyle{ a=|AB|=|CD|}\) oraz \(\displaystyle{ x+y=h_1}\)
Zatem: \(\displaystyle{ ]P_{\Delta_{ABM}}+P_{\Delta_{CMD}}=\frac{1}{2}ax+\frac{1}{2}ay=\frac{1}{2}ah_1=\frac{1}{2}P_{rownolegloboku}}\)

Suma trójkątów AMD i BMC:
\(\displaystyle{ P_{\Delta_{AMD}}=\frac{1}{2}bw\\
P_{\Delta_{BMC}}=\frac{1}{2}bz}\)
gdzie: \(\displaystyle{ b=|AD|=|BC|}\) oraz \(\displaystyle{ z+w=h_2}\)
Zatem suma tych pół to:\(\displaystyle{ P_{\Delta_{AMD}}+P_{\Delta_{BMC}}=\frac{1}{2}b(z+w)=\frac{1}{2}bh_2=\frac{1}{2}P_{rownolegloboku}}\)

Więc: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}bh_2=\frac{1}{2}ah_1}\) c.n.d

[ Dodano: 23 Września 2008, 18:36 ]
Ad.4
x- ramię trapezu
5a i 7a podstawy (ich stosunek jest równy 7:5)
Z zadania wiemy, że: \(\displaystyle{ 2x=\frac{1}{3}(5a+7a) \iff x=2a}\), zatem kąt przy podstawie (dłuższej) ma miarę \(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2} \iff =60^0}\), zaś drugi kąt przy krótszej podstawie \(\displaystyle{ \beta=180^0-\alpha=120^0}\)

[Homiliusz]

Dziękuję za pomoc . Już tylko trzy zadania zostały.

EDIT: Dodałem jeszcze jedno zadanko.