średnica okręgu

[szymek12]

Stefania i Karol stoją na średnicy okrągłego placu w miejscach dzielących tę średnicę na trzy równe części. Po obrzeżu placu biega pies przytrzymywany przez nich na elastycznych smyczach. W pewnym momencie odległość psa od Karola wynosi 9 metrów, a od Stefanii 7 metrów. Jaka jest odległość między Stefanią i Karolem?

[Grzegorz t]

Stefania i Karol stoją w punktach \(\displaystyle{ A,B}\), odległość między nimi to \(\displaystyle{ AB}\)
\(\displaystyle{ O}\) - środek okręgu, po którym biega pies
\(\displaystyle{ AC=7, BC=9}\)
\(\displaystyle{ AO=OB=\frac{1}{2}x}\)
\(\displaystyle{ AB=x}\)
\(\displaystyle{ OC=\frac{3}{2}x}\) - promień okręgu, mamy wyliczyć tutaj wartość \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ P_{AOC}=P_{OBC}}\)
połowa obwodu trójkąta \(\displaystyle{ AOC}\) wynosi \(\displaystyle{ p_1=\frac{2x+7}{2}}\)
połowa obwodu trójkąta \(\displaystyle{ OBC}\) wynosi \(\displaystyle{ p_2=\frac{2x+9}{2}}\)
Ze wzoru HERONA na pole trójkąta otrzymamy (po podstawieniu wartości):
\(\displaystyle{ \sqrt{(2x+7)(2x-7)(x+7)(7-x)}= \sqrt{(2x+9)(2x-9)(x+9)(9-x)}}\)
Po rozwiązaniu mamy \(\displaystyle{ x= \sqrt{26}}\)
Stefania i Karol stoją w odl. \(\displaystyle{ \sqrt{26}}\) od siebie.