Wycinek koła, którego promień ma długość \(\displaystyle{ R}\), opiera się na cięciwie o długości \(\displaystyle{ 2a}\). Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ r}\) jest długością promienia okręgu wpisanego w ten wycinek, to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{R} + \frac{1}{a} = \frac{1}{r}}\)
Wycinek koła
-
robin5hood
- Użytkownik
- Posty: 1676
- Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 178 razy
- Pomógł: 17 razy
Wycinek koła
Kiedy wrysujemy okrąg w wycinek, należy poprowadzić dwusieczną kąta opartego na danym łuku, która przecina cięciwe pod kątem prostym dzieląc ją na dwa równe odcinki. Powstaje trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej R, przyprostokątnej a zawierającej się w cięciwie. Jeżeli dorysujemy do okręgu wpisanego w łuk promień tak, aby był prostopadły do promienia dużego okręgu, to powstanie nam kolejny trójkąt, w którym przeciwprostokątną jest odcinek o długości R-r zawierający się w poprowadzonej dwusiecznej, a jedną z przyprostokątnych jest promień r. Te dwa wyżej opisane trójkąty są do siebie podobne (k,k,k), więc występuje zależność:
\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{R}{R-r}}\)
Wystarczy ją tylko przekształcić:
\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{R}{R-r}}\)
\(\displaystyle{ a(R-r)=Rr}\)
\(\displaystyle{ aR-ar=Rr}\)
\(\displaystyle{ aR=Rr+ar}\)
\(\displaystyle{ ar=r(R+a)}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{R+a}{R}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=1+ \frac{a}{R}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{r}=\frac{1}{a}+ \frac{1}{R}}\)
C.K.D
\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{R}{R-r}}\)
Wystarczy ją tylko przekształcić:
\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{R}{R-r}}\)
\(\displaystyle{ a(R-r)=Rr}\)
\(\displaystyle{ aR-ar=Rr}\)
\(\displaystyle{ aR=Rr+ar}\)
\(\displaystyle{ ar=r(R+a)}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=\frac{R+a}{R}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{r}=1+ \frac{a}{R}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{r}=\frac{1}{a}+ \frac{1}{R}}\)
C.K.D